Problema
Determina l’equazione dell’ellisse passante per il punto $P_1(\sqrt{2},0)$ e tangente alla retta di equazione $2x+y-4=0$.
Svolgimento
Partiamo come sempre dall’equazione generica dell’ellisse centrata nell’origine:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
e cerchiamo di sfruttare le informazioni che ci vengono date per trovare i coefficienti $a$ e $b$.
Partiamo dall’informazione riguardante il punto $P_1(\sqrt{2},0)$. Siccome appartiene all’ellisse allora deve soddisfare la sua equazione, quindi inseriamo le coordinate del punto nell’equazione generica e otteniamo:
$\dfrac{(\sqrt{2})^2}{a^2}+\dfrac{0^2}{b^2}=1$
e svolgendo i semplici calcoli otteniamo la seguente equazione:
$\dfrac{2}{a^2}=1$
e, prendendo la soluzione positiva, otteniamo che:
$a=\sqrt{2}$
Ora sostituiamo il valore di $a$ nell’equazione generica:
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
quindi ora ci manca solamente il coefficiente $b$ e per trovarlo sfruttiamo l’informazione sulla retta tangente.
Sappiamo che l’ellisse è tangente al retta $2x+y-4=0$, che scritta informa esplicita diventa:
$y=-2x+4$
Ora, ricordando quanto visto nella lezione sulla posizione tra retta ed ellisse, impostiamo un sistema tra la retta e l’equazione generica dell’ellisse:
\[\begin{cases}y=-2x+4 \\ \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\end{cases}\]
e risolvendo il sistema per sostituzione otteniamo:
\[\begin{cases} y=-2x+4 \\ \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(-2x+4)^2}{b^2}=1\end{cases}\]
Ora per semplicità ignoriamo il sistema e procediamo con i calcoli della seconda equazione:
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(-2x+4)^2}{b^2}=1$
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{4x^2-16x+16}{b^2}=1$
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{4}{b^2}x^2-\dfrac{16}{b^2}x+\dfrac{16}{b^2}-1=0$
riordinando i termini arriviamo alla seguente equazione di secondo grado:
$\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{b^2}\right)x^2-\dfrac{16}{b^2}x+\dfrac{16}{b^2}-1=0$
Questa equazione di secondo grado deve avere $\Delta=0$ affiche la retta sia tangente all’ellisse, quindi:
$\Delta=\left(\dfrac{16}{b^2}\right)^2-4\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{b^2}\right)\left(\dfrac{16}{b^2}-1\right)=0$
Quindi otteniamo una equazione che ha come incognita $b$ e svolgendo i calcoli otteniamo:
$\dfrac{256}{b^4}-\left(\dfrac{32}{b^2}-2+\dfrac{256}{b^4}-\dfrac{16}{b^2}\right)=0$
$-\dfrac{16}{b^2}+2=0$
da cui, prendendo la soluzione positiva, possiamo ottenere che $b=\sqrt{8}$.
Possiamo finalmente completare l’equazione dell’ellisse inserendo il valore di $b$, l’equazione dell’ellisse è:
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{8}=1$