Problema
Scrivi l’equazione dell’ellisse verticale con semiasse minore lungo $4\sqrt{2}$ ed eccentricità $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Svolgimento
Come al solito partiamo dall’equazione generica di una ellisse centrata nell’origine:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
e vogliamo trovare i coefficienti $a$ e $b$ sfruttando le informazioni che ci vengono date dal testo.
Ci viene detto che il semiasse minore è lungo $4\sqrt{2}$, siccome l’ellisse è verticale allora il semiasse minore è il semiasse orizzontale $a$. Quindi da questa osservazione otteniamo che:
$a=4\sqrt{2}$
Ora sfruttiamo l’informazione sull’eccentricità, ci viene detto che $e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e dalla teoria sappiamo che nel caso di ellisse verticale:
$e=\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$
Quindi da questa formula otteniamo che:
$\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
ma essendo che $a=4\sqrt{2}$ la formula diventa un’equazione che ha come incognita $b$:
$\dfrac{\sqrt{b^2-32}}{b}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
da cui svolgendo semplici calcoli si ottiene:
$\sqrt{b^2-32}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$
$b^2-32=\dfrac{3}{4}b^2$
cioè, prendendo la soluzione positiva (perché $b>0$), si ottiene:
$b=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
Quindi avendo ottenuto che $a=4\sqrt{2}$ e $b=8\sqrt{2}$, sostituendo questi coefficienti nell’equazione generica si ottiene che l’ellisse ha equazione:
$\dfrac{x^2}{32}+\dfrac{y^2}{128}=1$