Problema
Trova l’equazione dell’ellisse verticale centrata nell’origine che ha un vertice di coordinate $(0,8)$ e un fuoco in $(0,-5)$.
Svolgimento
L’equazione generica di una ellisse centrata nell’origine è:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
lo scopo è trovare i coefficienti $a$ e $b$ utilizzando le informazioni a nostra disposizione.
La prima informazione che possiamo sfruttare è che l’ellisse verticale ha un vertice in $(0,8)$, dalle sue coordinata possiamo capire che si tratta del vertice superiore, cioè quello in cui l’ellisse si incontra con la parte positiva dell’asse $y$.
Ricordiamo dalla teoria che tale vertice $V_2$ è dato dalla formula:
$V_2=(0,b)$
Quindi per confronto possiamo intuire che $b=8$.
La seconda informazione da usare è quella relativa al fuoco $(0,-5)$. Siccome ha coordinata $y$ negativa questo fuoco si trova lungo la parte negativa dell’asse $y$. In generale, il fuoco con ordinata negativa di una ellisse verticale ha le seguenti coordinate:
$F_1=(0,-c)$
Quindi sempre per confronto otteniamo che $c=5$.
Possiamo ora calcolare $a$ con la seguente formula:
$a=\sqrt{b^2-c^2}=\sqrt{64-25}=\sqrt{39}$
Ora sappiamo che $a=\sqrt{39}$ e $b=8$, quindi inserendo tali valori nell’equazione generica otteniamo che l’equazione della nostra ellisse è:
$\dfrac{x^2}{39}+\dfrac{y^2}{64}=1$