Problema
Determina l’equazione dell’ellisse centrata nell’origine di eccentricità $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ sapendo che ha un fuoco in $(-3,0)$.
Svolgimento
Per determinare l’equazione dell’ellisse dobbiamo trovare i coefficienti $a$ e $b$ da inserire nell’equazione generale di una ellisse centrata nell’origine:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
Sfruttiamo le informazioni che ci vengono fornite, partiamo dal fuoco di coordinate $(-3,0)$. Siccome la coordinata $y$ del fuoco è $0$ capiamo che il fuoco giace sull’asse $x$ e quindi l’ellisse è orizzontale.
Ricordiamo che nelle ellissi orizzontali centrate nell’origine i fuochi hanno formule:
$F_1=(-c,0)$
$F_2=(c,0)$
allora per confronto possiamo capire che $(-3,0)$ è il fuoco $F_1$ e quindi $c=3$.
Ora sfruttiamo l’eccentricità $e=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$. Nel caso di ellisse orizzontale, la formula per l’eccentricità è:
$e=\dfrac{c}{a}$
Sfruttiamo questa formula per trovare $a$, infatti:
$\dfrac{c}{a}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
ma sapendo che $c=3$ si ottiene l’equazione che ha per incognita $a$:
$\dfrac{3}{a}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
da cui otteniamo:
$a=\dfrac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$
Ora, sapendo che $a=\sqrt{10}$ e che $c=3$ possiamo trovare $b$ con la formula:
$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{10-9}=1$
Finalmente sappiamo che $a=\sqrt{10}$ e $b=1$, quindi inserendoli nell’equazione generica dell’ellisse otteniamo che l’equazione della nostra ellisse è:
$\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{1}=1$