Problema
Scrivi l’equazione dell’ellisse orizzontale centrata nell’origine che ha asse maggiore lungo $2\sqrt{3}$ e distanza tra i fuochi pari a $3$.
Svolgimento
Come al solito per trovare l’equazione dell’ellisse partiamo dall’equazione generica di una ellisse centrata nell’origine:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
il nostro scopo è trovare i coefficienti $a$ e $b$ da inserire al suo interno sfruttando le informazioni fornite.
L’esercizio ci dice che l’ellisse è orizzontale, cioè ha i fuochi lungo l’asse delle $x$, quindi il suo asse maggiore è quello orizzontale e sappiamo che è lungo $2\sqrt{3}$.
Se dividiamo a metà l’asse maggiore (orizzontale) possiamo trovare quanto vale $a$, che è il semiasse orizzontale. Quindi:
$a=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
L’altra informazione da sfruttare è che la distanza tra i fuochi vale $3$. Dividendo questa lunghezza a metà possiamo trovare la semidistanza focale che sappiamo essere il coefficiente $c$. Cioè:
$c=\dfrac{3}{2}$
Ora possiamo calcolare il coefficiente $b$ , infatti nel caso di ellisse orizzontale:
$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3-\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Quindi abbiamo trovato che $a=\sqrt{3}$ e $b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, quindi inserendole nell’equazione generica otteniamo che l’ellisse ha equazione:
$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{\dfrac{3}{4}}=1$
o scrivendola in modo più carino come:
$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{4y^2}{3}=1$