Problema
Determina l’equazione dell’ellisse centrata nell’origine passante per i punti $P_1\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{3}\right)$ e $P_2(1,\sqrt{2})$.
Svolgimento
Vogliamo determinare l’equazione di una ellisse centrata nell’origine degli assi cartesiani sapendo che passa per i punti $P_1$ e $P_2$. L’equazione generica di una ellisse centrata nell’origine è:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
Quello che dobbiamo fare è calcolare i coefficienti $a$ e $b$ utilizzando le informazioni fornite.
Come visto nel precedente esercizio siccome i punti $P_1$ e $P_2$ fanno parte dell’ellisse devono soddisfare la sua equazione. Quindi andiamo ad inserire le coordinate di ciascun punto nell’equazione generica dell’ellisse, troveremo così due equazioni che hanno come incognite $a$ e $b$.
Partiamo dal punto $P_1\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{3}\right)$ e inseriamo le sue coordinate nell’equazione generica dell’ellisse, otteniamo:
$\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{a^2}+\dfrac{(\sqrt{3})^2}{b^2}=1$
sistemando i termini otteniamo la seguente equazione che ha come incognite $a$ e $b$:
$\dfrac{2}{4a^2}+\dfrac{3}{b^2}=1$
Facciamo la stessa cosa per il punto $P_2(1,\sqrt{2})$, ottenendo:
$\dfrac{1^2}{a^2}+\dfrac{(\sqrt{2})^2}{b^2}=1$
da cui, con semplici calcoli, otteniamo l’equazione:
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{b^2}=1$
Mettiamo le due equazioni trovate a sistema e risolviamolo:
\[\begin{cases}\dfrac{2}{4a^2}+\dfrac{3}{b^2}=1 \\ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{b^2}=1 \end{cases}\]
Per risolvere questo sistema potremmo procedere con i soliti metodi (nell’esercizio precedente avevamo usato il metodo di riduzione), ma a scopo didattico questa volta usiamo un metodo alternativo solitamente applicato in questi casi.
Applichiamo le seguenti sostituzioni al sistema:
$s=\dfrac{1}{a^2}$
$t=\dfrac{1}{b^2}$
possiamo quindi riscrivere il sistema da risolverle come:
\[\begin{cases}\dfrac{2}{4}s+3t=1 \\ s+2t=1 \end{cases}\]
Il sistema risulta più semplice da risolvere, procediamo per sostituzione. Dalla seconda equazione abbiamo che:
$s=1-2t$
che andiamo ad inserire nella prima equazione ottenendo:
\[\begin{cases}\dfrac{2}{4}\cdot (1-2t)+3t=1 \\ s=1-2t \end{cases}\]
Dalla prima equazione otteniamo che:
\[\begin{cases} t=\dfrac{1}{4} \\ s=1-2t \end{cases}\]
e quindi inserendo $t=\dfrac{1}{4}$ nella seconda equazione otteniamo:
\[\begin{cases} t=\dfrac{1}{4} \\ s=\dfrac{1}{2} \end{cases}\]
Quindi inserendo questi risultati nelle sostituzioni abbiamo che:
$\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{4}$
Cioè $a=\sqrt{2}$ e $b=2$.
Allora tornando all’equazione generica dell’ellisse possiamo concludere che l’equazione dell’ellisse che passa per $P_1$ e $P_2$ è:
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{4}=1$