Problema
Determina l’equazione dell’ellisse passante per i punti $P_1\left(4,\dfrac{12}{5}\right)$ e $P_2\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4},-3\right)$ centrata nell’origine.
Svolgimento
Un’ellisse centrata nell’origine ha un’equazione generica del tipo:
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
Il nostro scopo è trovare quanto valgono i due coefficienti $a$ e $b$ utilizzando le informazioni che ci vengono fornite.
Le informazioni fornite sono che l’ellisse passa per i punti $P_1$ e $P_2$. Siccome questi punti appartengono all’ellisse devono soddisfare la sua equazione, quindi se inseriamo le coordinate $x$ e $y$ di ciascun punto nell’equazione generica dell’ellisse, otteniamo un’equazione che ha come incognite i coefficienti $a$ e $b$.
Ad esempio se inseriamo il punto $P_1\left(4,\dfrac{12}{5}\right)$ nell’equazione generica dell’ellisse otteniamo:
$\dfrac{(4)^2}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{12}{5}\right)^2}{b^2}=1$
$\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{144}{25b^2}=1$
$\dfrac{400b^2+144a^2}{25a^2b^2}=1$
$400b^2+144a^2=25a^2b^2$
che è un’equazione con due incognite.
Effettuando lo stesso procedimento con il punto $P_2\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4},-3\right)$ si ottiene invece:
$\dfrac{\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}\right)^2}{a^2}+\dfrac{(-3)^2}{b^2}=1$
$\dfrac{175}{16a^2}+\dfrac{9}{b^2}=1$
$\dfrac{175b^2+144a^2}{16a^2b^2}=1$
$175b^2+144a^2=16a^2b^2$
che è un’altra equazione con due incognite.
Mettiamo le due equazioni trovate a sistema e risolviamolo:
\[\begin{cases} 400b^2+144a^2=25a^2b^2 \\ 175b^2+144a^2=16a^2b^2 \end{cases}\]
per risolverlo possiamo procedere con qualsiasi tecnica, in questo caso lo risolveremo per riduzione infatti sottraendo dalla prima equazione la seconda il termine $144a^2$ sparirà:
\[\begin{cases} 400b^2+144a^2-(175b^2+144a^2)=25a^2b^2-16a^2b^2 \\ 175b^2+144a^2=16a^2b^2 \end{cases}\]
cioè la prima equazione diventa:
\[\begin{cases} 225=9a^2 \\ 175b^2+144a^2=16a^2b^2 \end{cases}\]
Otteniamo quindi:
\[\begin{cases} a=5 \\ 175b^2+144a^2=16a^2b^2 \end{cases}\]
per trovare $b$ sostituiamo il valore di $a$ nella seconda equazione
\[\begin{cases} a=5 \\ 175b^2+144\cdot 5^2=16\cdot 5^2b^2 \end{cases}\]
\[\begin{cases} a=5 \\ 175b^2+3600=400b^2 \end{cases}\]
da cui otteniamo infine:
\[\begin{cases} a=5 \\ b=4 \end{cases}\]
Ricordando che abbiamo preso $a$ e $b$ positivi perché essendo due lunghezze devono essere necessariamente maggiori di $0$.
Quindi possiamo inserire $a=5$ e $b=4$ nell’equazione generale dell’ellisse e otteniamo finalmente che l’equazione cercata è:
$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$