Problema
Determina se la seguente serie è converge o divergente:
\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\tan\left({\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}\right)\]
Svolgimento
La serie della quale vogliamo studiare il carattere è una serie a segni alterni, cioè del tipo
\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^na_n\]
dove $a_n=\tan\left({\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}\right)$.
Osserviamo inoltre che $a_n>0\hspace{0.3cm}\forall n\ge1$, cioè la successione $\{a_n\}$ è a termini positivi.
Possiamo quindi applicare il criterio di Leibniz per le serie a segni alterni. Per dire che la serie converge dobbiamo verificare che due condizioni, che le successione $\{a_n\}$ sia infinitesima e che sia decrescente.
Partiamo dalla prima condizione, calcoliamo quindi
\[\lim_{n\to+\infty} a_n=\lim_{n\to+\infty} \tan\left({\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}\right)=0\]
quindi la prima condizione è verifica, infatti siccome il limite è $0$ allora la successione è infinitesima.
Verifichiamo ora che sia decrescente, cioè $a_{n+1}<a_n$:
$\tan\left({\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}}\right)<\tan\left({\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}\right)$
Ricordando che la tangente è una funzione strettamente crescente la disequazione diventa:
$\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{n\sqrt{n}}$
e se la riscriviamo come
$\dfrac{1}{(n+1)^{\frac{3}{2}}}<\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$
risulta verificata che per ogni $n\ge1$, ossia la successione è decrescente $\forall n\ge1$
Allora siccome la successione rispetta entrambe le condizioni, cioè è sia infinitesima che decrescente, possiamo concludere che per il criterio di Leibniz la serie è convergente.