Problema
Determina se la seguente serie è converge o divergente:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{\sqrt{n^4+1}}\]
Svolgimento
La serie da studiare è a termini positivi, cioè $a_n>0\hspace{0.3cm}\forall n\ge 1$.
Per studiare il suo carattere è conveniente sfruttare il criterio del confronto asintotico, ma dobbiamo prima capire con quale serie confrontarla. Per farlo studiamo l’andamento del termine $a_n$ per $n\to +\infty$. Si ha che:
$a_n=\dfrac{n}{\sqrt{n^4+1}}\sim \dfrac{n}{\sqrt{n^4+1}}\sim \dfrac{n}{n^2}\sim \dfrac{1}{n}$
Quindi consideriamo la serie di partenza
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n}{\sqrt{n^4+1}}\]
e la serie ottenuta dalla studio dell’andamento, che sappiamo essere divergente (serie armonica)
\[\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\]
Possiamo applicare il criterio del confronto asintotico tra queste due serie, cioè calcoliamo il limite:
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{n}{\sqrt{n^4+1}}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2\sqrt{1+\dfrac{1}{n^4}}}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^4}}}=1\]
Quindi siccome il risultato del limite è $1\in (0,+\infty)$ possiamo concludere che per il criterio del confronto asintotico le due serie hanno lo stesso carattere, cioè la serie da studiare ha lo stesso carattere della serie armonica, ossia diverge.