Problema
Determina se la seguente serie è converge o divergente:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}\]
Svolgimento
La serie di cui vogliamo studiare il carattere è a termini positivi, cioè $a_n>0\hspace{0.2cm}\forall n\ge1$.
Possiamo quindi applicare il criterio del rapporto, cioè andiamo a valutare il limite
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\]
Nel nostro caso il numeratore è:
$a_{n+1}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$
mentre il denominatore è:
$a_n=\dfrac{n!}{n^n}$
Quindi il limite da calcolare diventa
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{n!}{n^n}}=\lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}=\dfrac{1}{e}\]
Possiamo concludere che siccome il limite è $\dfrac{1}{e}<1$ allora per il criterio del rapporto la serie è convergente.