CRITERI DI CONVERGENZA DELLE SERIE – ESERCIZIO 2

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Problema

Determina se la seguente serie è converge o divergente:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n^2}\]

Svolgimento

Osserviamo che la serie è a termini positivi, cioè $a_n>0 \hspace{0.5cm} \forall n\ge1$.

Allora per studiare il carattere della serie possiamo sfruttare il criterio della radice, per il quale dobbiamo calcolare il limite:

\[\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n^2}}=\lim_{n\to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}=\dfrac{1}{e}\]

dove nell’ultimo passaggio è stato sfruttato il limite notevole $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$.

Pertanto siccome i valore del limite è $\dfrac{1}{e}<1$ allora possiamo concludere che per il criterio della radice la serie è convergente.