Problema
Determina se la seguente serie è converge o divergente:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n^2}\]
Svolgimento
Osserviamo che la serie è a termini positivi, cioè $a_n>0 \hspace{0.5cm} \forall n\ge1$.
Allora per studiare il carattere della serie possiamo sfruttare il criterio della radice, per il quale dobbiamo calcolare il limite:
\[\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n^2}}=\lim_{n\to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}=\dfrac{1}{e}\]
dove nell’ultimo passaggio è stato sfruttato il limite notevole $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$.
Pertanto siccome i valore del limite è $\dfrac{1}{e}<1$ allora possiamo concludere che per il criterio della radice la serie è convergente.