CRITERI DI CONVERGENZA DELLE SERIE – ESERCIZIO 1

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Problema

Determina se la seguente serie è converge o divergente:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3^n n!}{n^n}\]

Svolgimento

Come prima cosa osserviamo che la serie di cui vogliamo studiare il carattere è una serie a termini positivi, cioè i termini che si sommano sono strettamente maggiori di zero per qualsiasi valore di $n$. Detto in simboli:

$a_n>0 \hspace{0.5cm} \forall n \ge 1$

Allora per determinare se la serie è convergente o divergente possiamo sfruttare il criterio del rapporto, dobbiamo quindi calcoliamo il limite

\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\]

Nel nostro caso si ha che il numeratore è:

$a_{n+1}= \dfrac{3^{n+1} {(n+1)}!}{{(n+1)}^{n+1}}$

mentre il denominatore è:

$a_n= \dfrac{3^n n!}{n^n}$

Il limite da calcolare diventa quindi:

\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{3^{n+1} {(n+1)}!}{{(n+1)}^{(n+1)}}}{\dfrac{3^n n!}{n^n}}=\lim_{n\to +\infty} 3\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{3}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}=\dfrac{3}{e}\]

dove nei vari passaggi sono state usate proprietà delle potenze e del fattoriale, e infine un limite notevole del logaritmo.

Siccome il limite da come risultato $\dfrac{3}{e}>1$ possiamo concludere che per il criterio del rapporto la serie è divergente.