LIMITI CON SVILUPPO DI TAYLOR – ESERCIZIO 4

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Problema

Calcolare il limite:

\[\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x^2)-x^2}{x^2\ln(1+x^2)-x^4-\dfrac{x^6}{6}}\]

Svolgimento

Per calcolare il limite studiamo separatamente numeratore e denominatore.

Consideriamo il numeratore, in generale si ha che il seno per $t\to 0$ può essere sviluppato come:

$\sin t=t-\dfrac{t^3}{6}+\omicron(t^3)$

nel nostro caso $t=x^2$, quindi lo sviluppo diventa

$\sin(x^2)=x^2-\dfrac{x^6}{6}+\omicron(x^6)$

Inseriamo questo sviluppo nel numeratore, siccome è già presente un termine $-x^2$ dobbiamo inserire almeno due termini dello sviluppo per evitare cancellazioni. Il numeratore diventa:

$\sin(x^2)-x^2=[x^2-\dfrac{x^6}{6}+\omicron(x^6)]-x^2=-\dfrac{x^6}{6}+\omicron(x^6)$

Quindi per $x\to 0$ possiamo approssimare il denominatore come:

$\sin(x^2)-x^2 \sim -\dfrac{x^6}{6}$

Passiamo allo studio del denominatore e notiamo che è possibile sviluppare il logaritmo. In generale per $t\to 0$ si ha che lo sviluppo è:

$\ln(1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}+\omicron(t^2)$

nel nostro caso $t=x^2$, allora:

$\ln(1+x^2)=x^2-\dfrac{x^4}{2}+\omicron(x^4)$

Inserendo lo sviluppo nel denominatore dobbiamo utilizzare almeno due termini dello sviluppo per evitare cancellazioni, si ottiene quindi che

$x^2\ln(1+x^2)-x^4-\dfrac{x^6}{6}=x^2\cdot \left[ x^2-\dfrac{x^4}{2}+\omicron(x^4) \right]-x^4-\dfrac{x^6}{6}=x^4-\dfrac{x^6}{2}+\omicron(x^6)-x^4-\dfrac{x^6}{6}=-x^6+\omicron(x^6)$

Quindi per $x\to 0$ possiamo approssimare il denominatore come:

$x^2\ln(1+x^2)-x^4-\dfrac{x^6}{6}\sim -x^6$

Combinando le considerazioni fatte su numeratore e denominatore concludiamo che:

\[\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x^2)-x^2}{x^2\ln(1+x^2)-x^4-\dfrac{x^6}{6}}=\lim_{x\to 0} \dfrac{-\dfrac{x^6}{6}}{-x^6}=\dfrac{1}{6}\]