Problema
Calcolare il limite:
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+\sin n)\sin\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}{\ln(n+n^2)-2\ln n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}}\]
Svolgimento
Per calcolare il limite studiamo separatamente i seguenti tre fattori:
$(n+\sin n)$
$\sin\left(\dfrac{1}{n^3}\right)$
$\ln(n+n^2)-2\ln n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}$
Partiamo dal primo, ricordando che $-1\le \sin n \le 1 $ allora per $n\to +\infty$ possiamo approssimarlo come:
$(n+\sin n) \sim n$
Passiamo al secondo termine. Posto $t=\dfrac{1}{n^3}$ vediamo che $t\to 0$ quando $n\to +\infty$. Allora possiamo utilizzare lo sviluppo del seno per $t=0$:
$\sin t = t-\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^5}{120}+\omicron(t^5)$
che nel nostro caso, per $t=\dfrac{1}{n^3}$, diventa
$\sin\left(\dfrac{1}{n^3}\right)=\dfrac{1}{n^3}-\dfrac{1}{6n^9}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^9}\right)$
Siccome nel secondo termine non ci sono somme o sottrazioni, quindi non si rischiano cancellazioni di termini, possiamo approssimarlo utilizzando solo il primo termine dello sviluppo. Quindi:
$\sin\left(\dfrac{1}{n^3}\right) \sim \dfrac{1}{n^3}$
Non ci resta che sistemare il terzo termine, con dei semplici calcoli lo riscriviamo come:
$\ln(n+n^2)-2\ln n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}=\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}$
Anche qui poniamo $t=\dfrac{1}{n}$ e per $n\to +\infty$ si ha che $t\to 0$. Allora possiamo utilizzare lo sviluppo del logaritmo attorno a $t=0$:
$\ln (1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{3}+\omicron(t^3)$
che per $t=\dfrac{1}{n}$ diventa
$\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}+\dfrac{1}{3n^3}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^3}\right)$
Ora dobbiamo decidere quanti termini dello sviluppo inserire nel denominatore. Siccome a denominatore è presenta $-\dfrac{1}{n}$ che cancellerebbe il primo termine dello sviluppo, dobbiamo inserirne almeno due.
Quindi il denominatore diventa:
$\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}=\left[\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right]-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}=-\dfrac{1}{n^2}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$
Quindi per $n\to +\infty$ possiamo approssimare il denominatore come:
$\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}\sim -\dfrac{1}{n^2}$
Ora mettiamo insieme tutte le approssimazioni fatte sul limite originale, ottenendo:
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+\sin n)\sin\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}{\ln(n+n^2)-2\ln n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{n\cdot \dfrac{1}{n^3}}{-\dfrac{1}{n^2}}=-1\]