Problema
Calcolare il limite:
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{2n}-1+\cos\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{12n^3}-\dfrac{1}{n}+\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)}\]
Svolgimento
Per risolvere il limite studiamo separatamente il numeratore e il denominatore.
Consideriamo il numeratore e osserviamo che sono presenti una funzione esponenziale e una funzione coseno. Nel limite $n\to +\infty$ non possiamo sviluppare la funzione $e^{2n}$ ma possiamo sviluppare il coseno. Infatti usando la sostituzione $t=\dfrac{1}{n}$ per $n\to +\infty$ si ha che $t\to 0$.
In generale per $t\to 0$
$\cos t =1-\dfrac{t^2}{2}+\omicron(t^2)$
allora nel nostro caso, con la sostituzione $t=\dfrac{1}{n}$
$\cos\left(\dfrac{1}{n}\right) =1-\dfrac{1}{2n^2}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$
Ora dobbiamo decidere quanti termini di questo sviluppo è necessario inserire. Siccome a numeratore è presente un $-1$ dobbiamo per forza inserire almeno il secondo termine dello sviluppo per evitare cancellazioni. Quindi il numeratore diventa:
$e^{2n}-1+\cos\left(\dfrac{1}{n}\right)=e^{2n}-1+\left[1-\dfrac{1}{2n^2}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right]=e^{2n}-\dfrac{1}{2n^2}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^2}\right)=e^{2n}+\omicron(e^{2n})$
dove nell’ultimo passaggio, siccome $n\to +\infty$, abbiamo sfruttato il fatto che l’esponenziale è un infinito di ordine superiore, cioè tende ad infinito molto più rapidamente di tutti gli altri termini (che sono degli $\omicron$ piccoli di $e^{2n}$).
Quindi per $n\to +\infty$ possiamo approssimare il numeratore come:
$e^{2n}-1+\cos\left(\dfrac{1}{n}\right)\sim e^{2n}$
Passiamo ora al denominatore. Per lo stesso ragionamento fatto col coseno possiamo sviluppare il seno come:
$\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{6n^3}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^3}\right)$
Anche qui dobbiamo inserire almeno il secondo termine dello sviluppo per evitare cancellazioni, il denominatore diventa:
$\dfrac{1}{12n^3}-\dfrac{1}{n}+\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{12n^3}-\dfrac{1}{n}+\left[\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{6n^3}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\right]=-\dfrac{1}{12n^3}+\omicron\left(\dfrac{1}{n^3}\right)$
Quindi per $n\to +\infty$ possiamo approssimare il denominatore come:
$\dfrac{1}{12n^3}-\dfrac{1}{n}+\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)\sim -\dfrac{1}{12n^3}$
Mettendo insieme le considerazioni fatte su numeratore e denominatore otteniamo che il limite diventa:
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{2n}-1+\cos\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{12n^3}-\dfrac{1}{n}+\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)}=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{2n}}{-\dfrac{1}{12n^3}}=-\infty\]