Problema
Calcolare il limite:
\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin(2x^2)+x^7-2x^2}{x^6e^{1+x}}+x^2\ln x\]
Svolgimento
Osserviamo che il limite è formato da due addendi che sono entrambi forme indeterminate, il primo $\dfrac{0}{0}$ mentre il secondo $0\cdot \infty$. Studiamo i due addendi separatamente.
Consideriamo il secondo addendo, essendo una forma indeterminata lo riscriviamo come:
\[\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x=\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{\dfrac{1}{x^2}}=0\]
dove l’uguaglianza finale è ricavabile utilizzando de l’Hopital.
Il limite di partenza si riduce quindi al limite del primo addendo, studiamo quindi:
\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin(2x^2)+x^7-2x^2}{x^6e^{1+x}}\]
Consideriamo il numeratore, è composto da una funzione seno e da una funzione polinomiale. Siccome stiamo considerando $x \to 0^+$ possiamo sostituire alla funzione seno il suo sviluppo di Taylor attorno a $x=0$.
In generale lo sviluppo del seno è:
$\sin t = t-\dfrac{t^3}{6}+\dfrac{t^5}{120}+\omicron(t^5)$
nel nostro caso abbiamo che $t=2x^2$, allora lo sviluppo diventa
$\sin (2x^2) = 2x^2-\dfrac{4}{3}x^6+\dfrac{4}{15}x^{10}+\omicron(x^{10})$
Ora dobbiamo decidere quanti termini dello sviluppo è necessario prendere. Per fare questa scelta vediamo se ci sono delle somme o sottrazioni nel numeratore che cancellano termini dello sviluppo. Siccome a numeratore è presente un $-2x^2$ che cancella il primo termine dello sviluppo, dobbiamo inserire almeno il secondo termine dello sviluppo.
Quindi il numeratore possiamo scriverlo come:
$\sin(2x^2)+x^7-2x^2=\left[2x^2-\dfrac{4}{3}x^6+\omicron(x^{6})\right]+x^7-2x^2=-\dfrac{4}{3}x^6+\omicron(x^{6})+x^7=-\dfrac{4}{3}x^6+\omicron(x^{6})$
dove nell’ultima uguaglianza abbiamo sfruttato il fatto che $x^7$ è un infinitesimo di ordine superiore a $x^6$. Abbiamo ottenuto che per $x \to 0^+$ possiamo approssimare il numeratore come
$\sin(2x^2)+x^7-2x^2 \sim -\dfrac{4}{3}x^6$
Mettendo insieme tutte le considerazioni fatte finora, concludiamo che il risultato del limite originale è:
\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin(2x^2)+x^7-2x^2}{x^6e^{1+x}}+x^2\ln x=\lim_{x\to 0^+} \dfrac{-\dfrac{4}{3}x^6}{x^6e^{1+x}}=\lim_{x\to 0^+} -\dfrac{4}{3e^{1+x}}=-\dfrac{4}{3e}\]