In questa pagina sono raccolti degli esercizi svolti sul calcolo di limiti utilizzando lo sviluppo di Taylor.
Risolvere particolari limiti sfruttando lo sviluppo di Taylor delle funzioni è una tecnica avanzata e viene solitamente insegnata a livello universitario.
Un prerequisito per l’utilizza di tale tecnica è lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari. Inoltre è fondamentale saper capire qual è il numero minimo di termini di uno sviluppo che vanno utilizzati. Il numero minimo di termini da utilizzare dipende dalla situazione, in generale deve essere tale che eventuali somme o sottrazioni con altri parti della funzione non cancellino lo sviluppo.
Esercizio 1
Calcolare il limite:
\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin(2x^2)+x^7-2x^2}{x^6e^{1+x}}+x^2\ln x\]
Come risolverlo? SVOLGIMENTO
Esercizio 2
Calcolare il limite:
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{e^{2n}-1+\cos\left(\dfrac{1}{n}\right) }{\dfrac{1}{12n^3}-\dfrac{1}{n}+\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)}\]
Come risolverlo? SVOLGIMENTO
Esercizio 3
Calcolare il limite:
\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(n+\sin n)\sin\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}{\ln(n+n^2)-2\ln n-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}}\]
Come risolverlo? SVOLGIMENTO
Esercizio 4
Calcolare il limite:
\[\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x^2)-x^2}{x^2\ln(1+x^2)-x^4-\dfrac{x^6}{6}}\]
Come risolverlo? SVOLGIMENTO