Problema
Calcolare con il metodo di sostituzione l’integrale indefinito:
\[ \int \frac{\sin x \cos x}{2\sin x +3}\,dx \hspace{15cm} \]
Svolgimento
Per risolvere l’integrale proposto utilizziamo il metodo di sostituzione ponendo $t=\sin x$.
Ora andiamo a differenziare termine a termine ottenendo:
$dt=\cos x dx$
A questo punto torniamo al nostro integrale e sostituiamo quanto appena trovato, cioè $t=\sin x$ e $dt=\cos x dx$ , quindi l’integrale da risolvere diventa:
\[ \int \frac{\sin x \cos x}{2\sin x +3}\,dx = \int \frac{\sin x }{2\sin x +3} \cdot \cos x dx =\int \frac{t}{2t+3}\,dt \hspace{12cm} \]
L’integrale che dobbiamo ora risolvere è:
\[ \int \frac{t}{2t+3}\,dt \hspace{15cm} \]
per farlo possiamo possiamo procedere moltiplicando e dividendo per $2$ l’integrando, poi sommando e sottraendo $3$ a numeratore, tutto questo per fare si che a numeratore compaiano gli stessi termini che ci sono a denominatore. Questo ci permette di dividere in due l’integrale nel seguente modo:
\[ \int \frac{t}{2t+3}\,dt =\hspace{15cm}\]
\[\frac{1}{2}\int \frac{2t}{2t+3}\,dt =\hspace{15cm}\]
\[ \frac{1}{2}\int \frac{2t+3-3}{2t+3}\,dt=\hspace{14cm} \]
\[\frac{1}{2}\int \frac{2t+3}{2t+3}\,dt + \frac{1}{2}\int \frac{-3}{2t+3}\,dt\hspace{12cm}\]
Sistemando i vari termini gli integrali diventano:
\[ \frac{1}{2}\int 1\,dt-\frac{3}{2}\int \frac{1}{2t+3}\,dt \hspace{13cm}\]
Il primo integrale è banale mentre nel secondo integrale moltiplicando e dividendo per $2$ otteniamo che a numeratore compare la derivata del denominatore e possiamo utilizzare la formula:
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx= \ln|f(x)|\]
Quindi applichiamo quanto detto:
\[\frac{1}{2}\int 1\,dt-\frac{3}{4}\int \frac{2}{2t+3}\,dt = \frac{1}{2} t- \frac{3}{4} \ln|2t+3| +c \hspace{13cm}\]
Concludiamo tornando alla variabile di partenza $x$, il risultato finale è:
\[ \int \frac{\sin x \cos x}{2\sin x +3}\,dx =\frac{1}{2} \sin x- \frac{3}{4} \ln|2\sin x+3| +c \hspace{15cm} \]