Problema
Calcolare con il metodo di sostituzione l’integrale indefinito:
\[ \int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx \hspace{16 cm} \]
Svolgimento
L’integrale dell’esercizio potrebbe essere risolto con l’utilizzo di formule di integrazione, tuttavia viene espressamente chiesto di usare il metodo di sostituzione (anche perché non sempre ci si ricorda delle formule…). Nel nostro caso procediamo con la sostituzione $t=\ln x$.
Il prossimo passo è quello di invertire l’uguaglianza per ottenere $x$ in funzione di $t$ ottenendo: $x=e^t$
possiamo ora calcolare il differenziale $dx$ in funzione della nuova variabile $t$ differenziando l’uguaglianza, si ottiene che:
$dx=e^tdt$
Ora torniamo all’integrale andando a sostituire quanto appena trovato, sostituiamo quindi $e^t$ al posto di $x$ mentre al differenziale $dx$ andiamo a sostituire $e^tdt$. Quello che si ottiene è:
\[ \int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx =\int \frac{\cos(\ln e^t)}{e^t} \cdot e^tdt \hspace{11 cm}\]
Ora si possono quindi semplificare dei termini, infatti $\ln e^t =t$ e possiamo eliminare $e^t$ essendo presente sia a numeratore che a denominatore:
\[ \int \frac{\cos(\ln e^t)}{e^t} \cdot e^tdt = \int cos(t)\,dt = \sin t +c \hspace{10cm}\]
L’integrale è quasi risolto, bisogno ora tornare alla variabile $x$ usando l’uguaglianza $t=\ln x$. Il risultato finale è:
\[ \int \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx =\sin (\ln x) +c \hspace{16 cm} \]