Problema
Calcolare con il metodo di sostituzione l’integrale indefinito:
\[\int \frac{1}{x-\sqrt{x}}\, dx \hspace{16cm}\]
Svolgimento
Per risolvere con il metodo di sostituzione l’integrale proposto utilizziamo la sostituzione $t=\sqrt{x}$.
L’uguaglianza appena scelta esprime la variabile $t$ in funzione della variabile $x$, nel nostro caso quello che ci interessa fare è invertire l’uguaglianza in modo da esprimere $x$ in funzione di $t$. Elevando al quadrato entrambi i membri dell’uguaglianza otteniamo $x=t^2$.
Da quest’ultima relazione calcoliamo il differenziale $dx$ in funzione di $t$ differenziando l’uguaglianza e ottenendo:
$dx=2tdt$
A questo punto non ci resta che andare a sostituire nell’integrale di partenza ciò che abbiamo trovato. In particolare al posto di $x$ sostituiremo $t^2$ mentre al posto di $dx$ metteremo $2tdt$. Quindi:
\[\int \frac{1}{x-\sqrt{x}}\, dx = \int \frac{1}{t^2-\sqrt{t^2}}\cdot 2tdt \hspace{12cm}\]
Procediamo semplificando la radice e raccogliendo una $t$ a denominatore per poi semplificarla con quella a numeratore:
\[\int \frac{2t}{t^2-t}\,dt = 2\int \frac{t}{t(t-1)}\,dt = 2\int \frac{1}{t-1}\,dt \hspace{10cm}\]
l’integrale può essere risolto facilmente ora, infatti abbiamo a numeratore $1$ che è la derivata del denominatore $t-1$, quindi possiamo utilizzare la seguente formula per gli integrali immediati:
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+c \hspace{14cm}\]
Quindi applicando tale formula al nostro integrale otteniamo:
\[2\int \dfrac{1}{t-1}\,dt = 2 \ln|t-1|+c \hspace{13cm}\]
Dobbiamo infine tornare alla variabile $x$ sostituendo $\sqrt{x}$ a $t$ nel risultato appena ottenuto. Il risultato finale è quindi:
\[ \int \frac{1}{x-\sqrt{x}}\, dx=2\ln|\sqrt{x}-1|+c \hspace{14cm}\]