Problema
Calcolare con il metodo di sostituzione l’integrale indefinito:
\[\int \frac{1+e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx \hspace{15cm} \]
Svolgimento
Per calcolare l’integrale richiesto utilizziamo la sostituzione $t=\sqrt{x}$.
Esprimiamo ora la variabile $x$ in funzione di $t$, cioè: $x=t^2$.
Possiamo ora calcolare il differenziale ottenendo:
$dx=2tdt$
A questo punto abbiamo tutto quello che ci serve e ritornando all’integrale di partenza possiamo sostituire $t$ a $\sqrt{x}$ mentre al posto di $dx$ scriveremo $2tdt$.
Possiamo quindi scrivere la seguente uguaglianza:
\[\int \frac{1+e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx = \int \frac{1+e^{t}}{t}\cdot 2t\,dt \hspace{13cm} \]
che semplificando può essere riscritto come:
\[2\int (1+e^{t})\,dt \hspace{17cm} \]
Questo integrale è facilmente risolvibile conoscendo gli integrali immediati, infatti si ottiene che:
\[2\int (1+e^{t})\,dt= 2\int 1\,dt + 2\int e^t\,dt = 2t+2e^t+c \hspace{9cm} \]
L’ultimo passo per completare lo svolgimento consiste nel ritornare alla variabile di partenza $x$ usando la sostituzione $t=\sqrt{x}$ , quindi possiamo scrivere che:
\[2t+2e^t+c=2\sqrt{x}+2e^{\sqrt{x}}+c \hspace{12.5cm} \]
La soluzione finale sarà quindi:
\[\int \frac{1+e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx =2\sqrt{x}+2e^{\sqrt{x}}+c \hspace{13cm} \]