Problemi
Calcolare con il metodo di integrazione per parti l’integrale indefinito:
\[\int \frac{x}{\cos^2 2x}\,dx \hspace{15cm}\]
Svolgimento
Integriamo utilizzando il metodo di integrazione per parti. Scegliamo $f(x)=x$ e $g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 2x}$. La formula di integrazione per parti è la seguente:
\[ \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)\,dx \]
ci serve determinare $g(x)$ e $f'(x)$, per farlo integriamo $g'(x)$ e deriviamo $f(x)$ ottenendo:
\[g(x)=\int g'(x)\,dx=\int \frac{1}{\cos^2 2x}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{2}{\cos^2 2x}\,dx=\frac{1}{2}\tan 2x \hspace{25cm} \]
$f'(x)=\dfrac{d}{dx}x=1$
Ora andiamo ad inserire quanto trovato nella formula di integrazione per parti ottenendo:
\[ \int \frac{x}{\cos^2 2x}\,dx= x\frac{1}{2}\tan 2x-\int 1\cdot \frac{1}{2}\tan 2x\,dx= \frac{x}{2}\tan 2x -\frac{1}{2}\int \tan 2x\,dx\hspace{25cm}\]
Calcoliamo ora l’ultimo integrale per sostituzione ponendo $t=\cos 2x$ da cui $dt=-2\sin 2x\,dx$, quello che si ottiene è:
\[\int \tan 2x\,dx=\int \frac{\sin 2x}{\cos 2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}\,dt=-\frac{1}{2}\ln |t|+c=-\frac{1}{2}\ln |\cos 2x|+c\hspace{25cm}\]
Quindi unendo questo risultato al precedente otteniamo il risultato finale dell’esercizio:
\[ \int \frac{x}{\cos^2 2x}\,dx=\frac{x}{2}\tan 2x+\frac{1}{4}\ln |\cos 2x|+c\hspace{25cm}\]