Problema
Calcolare con il metodo di integrazione per parti l’integrale indefinito:
\[\int \arctan x\,dx \hspace{15cm}\]
Svolgimento
Prima di iniziare a risolvere l’integrale lo riscriviamo metto in evidenza un $1$ nell’integrando:
\[\int 1\arctan x\,dx \hspace{15cm}\]
Fatto ciò identifichiamo con $f(x)=\arctan x$ mentre $g'(x)=1$. La formula da applicare per l’integrazione per parti è la seguente:
\[ \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)\,dx \]
dobbiamo quindi trovare $g(x)$ ed $f'(x)$ e per farlo andiamo ad integrare $g'(x)$ e a derivare $f(x)$ ottenendo:
\[g(x)=\int g'(x)\,dx=\int 1\,dx=x \hspace{15cm}\]
$f'(x)=\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^2}$
Ora che abbiamo tutto ciò che ci serve applichiamo la formula di integrazione andando ad inserire i termini appena trovati:
\[ \int \arctan x\,dx= x\arctan x- \int \frac{x}{1+x^2}\,dx \hspace{15cm} \]
Quindi non ci resta che risolvere l’integrale:
\[\int \frac{x}{1+x^2}\,dx \hspace{15cm}\]
per farlo andiamo a moltiplicare e dividere per $2$ l’integrando in modo da ottenere a numeratore la derivata del denominatore, l’integrale diventa così immediato:
\[\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx= \frac{1}{2} \ln |1+x^2| +c \hspace{15cm}\]
Quindi il risultato finale dell’esercizio diventa il seguente:
\[ \int \arctan x\,dx= x\arctan x- \frac{1}{2} \ln |1+x^2| +c \hspace{15cm} \]