Problema
Calcolare con il metodo di integrazione per parti l’integrale indefinito:
\[\int x^3\ln x\,dx \hspace{15cm} \]
Svolgimento
Risolviamo l’integrale proposto con l’integrazione per parti, in questo caso identifichiamo $f(x)=\ln x$ e $g'(x)=x^3$. La formula dell’integrazione per parti è la seguente:
\[ \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)\,dx \]
prima di poterla utilizzare dobbiamo determinare $g(x)$ che è la primitiva di $g'(x)$ e $f'(x)$ che è la derivata di $f(x)$ nel seguente modo:
\[ g(x)=\int g'(x)\,dx=\int x^3\,dx =\frac{x^4}{4} \hspace{25cm} \]
$f'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$
Possiamo ora inserire nella formula di integrazione quello che abbiamo calcolato e risolvendo l’integrale finale otteniamo il risultato dell’esercizio:
\[ \int x^3\ln x\,dx=\frac{x^4}{4} \ln x -\int \frac{x^4}{4} \dfrac{1}{x}\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x -\frac{x^4}{16} +c \hspace{25cm} \]