Problema
Calcolare con il metodo di integrazione per parti l’integrale indefinito:
\[\int x\cos x\,dx \hspace{15cm}\]
Svolgimento
Per risolvere l’integrale proposto utilizziamo il metodo di integrazione per parti. In particolare andiamo ad identificare nel nostro integrando due funzioni, $f(x)=x$ e $g'(x)=\cos x$.
Utilizzeremo la formula di integrazione per parti:
\[ \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)\,dx \]
ma per farlo dobbiamo prima calcolare $g(x)$ che è la primitiva di $g'(x)$ e $f'(x)$ che è la derivata di $f(x)$. Quindi calcoliamole nel seguente modo:
\[g(x)=\int g'(x)\,dx=\int \cos x\,dx =\sin x \hspace{25cm} \]
$f'(x)=\dfrac{d}{dx} x=1$
Ora possiamo applicare la formula inserendo i termini trovati e calcolare l’ultimo integrale elementare, il risultato finale che si ottiene è:
\[\int x\cos x\,dx =x\sin x \hspace{0.2cm} – \int 1\sin x =x\sin x+\cos x+c \hspace{25cm}\]