Problema
Risolvere l’equazione differenziale:
$3y’ +cos\,x-sen\,2x=0$
Svolgimento
L’equazione differenziale da risolvere è in forma implicita, quindi è prima necessario scriverla in forma esplicita andando ad isolare a sinistra $y’$ mentre tutti i restanti termini a destra dell’uguale.
Riscrivendola come suggerito si ottiene la seguente equazione differenziale: $y’=-\dfrac{cos\,x}{3}+\dfrac{sen\,2x}{3}$
che è un’equazione del tipo $y’=f(x)$ con $f(x)=-\dfrac{cos\,x}{3}+\dfrac{sen\,2x}{3}$.
Possiamo utilizzare ora la formula per l’integrale generale:
\[y=\int f(x)\,dx=\int -\dfrac{cos\,x}{3}+\dfrac{sen\,2x}{3} \,dx\]
andiamo quindi a risolvere l’integrale
\[ \int -\dfrac{cos\,x}{3}+\dfrac{sen\,2x}{3} \,dx= -\dfrac{1}{3}\int cos\,x \,dx+\dfrac{1}{3}\int sen\,2x\,dx \]
risolviamo separatamente i due integrali, le costanti degli integrali le considereremo alla fine:
\[\int cos\,x \,dx=sen\,x\]
\[\int sen\,2x\,dx=-\dfrac{1}{2}cos\,2x\]
dove nel secondo abbiamo utilizzato il metodo di sostituzione con $y=2x$ e $dx=\dfrac{1}{2}dy$
Quindi riportando questi risultati nella formula principale e aggiungendo la costante $c$ proveniente dall’integrazione otteniamo che:
$y=-\dfrac{1}{3}\cdot sen\,x+\dfrac{1}{3}\cdot \left( -\dfrac{1}{2}cos\,2x \right)+c$
L’integrale generale dell’equazione differenziale è quindi:
$y=-\dfrac{sen\,x}{3}-\dfrac{cos\,2x}{6}+c$