EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL TIPO y’=f(x) – ESERCIZIO 2

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Problema

Risolvere l’equazione differenziale:

$3y’-2x-2cos\,x=0$

Svolgimento

L’equazione che vogliamo risolvere non in forma esplicita, quindi prima di applicare la formula per la risoluzione dobbiamo isolare $y’$ a sinistra e tutti gli altri termini a destra per ricondurci alla forma $y’=f(x)$

Quindi spostando i termini come detto possiamo riscrivere l’equazione come: $y’=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}cos\,x$

Ora che l’equazione è scritta nella forma $y’=f(x)$ con $f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}cos\,x$ possiamo applicare la formula per calcolare l’integrale generale:

\[y=\int f(x)\,dx=\int \dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}cos\,x \,dx \]

dobbiamo quindi calcolare l’integrale

\[ \int \dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}cos\,x \,dx=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{2}{3}\cdot sin\,x+c=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2sin\,x}{3}+c \]

Possiamo quindi concludere che l’integrale generale dell’equazione differenziale è:

$y=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2sin\,x}{3}+c$