Problema
Risolvere la disequazione:
$\dfrac{4\arctan x -\pi}{\arcsin(2-x)}>0$
Svolgimento
Per iniziare lo svolgimento notiamo che la disequazione è fratta e contiene al suo interno due funzioni goniometriche inverse, l’arcotangente e l’arcoseno.
Partiamo determinando le condizioni di esistenza, in questo caso è necessario porre che il denominatore sia diverso da $0$ e che l’argomento dell’arcoseno sia compreso tra $-1$ ed $1$, la funzione arcotangente non ci causa alcuno fastidio infatti ha come dominio qualsiasi numero reale.
Come detto la prima condizione che abbiamo è:
$\arcsin(2-x) \ne 0$
ricordando che l’arcoseno si annulla quando il suo argomento è nullo otteniamo la condizione $2-x \ne 0$, cioè $x \ne 2$.
Possiamo ora alla condizione di esistenza dell’arcoseno:
$-1 \le 2-x \le 1$
Risolviamo quindi il sistema corrispondente:
\[\begin{cases} 2-x \ge -1 \\ 2-x \le 1 \end{cases} \hspace{13cm} \]
ossia
\[\begin{cases} x \le 3 \\ x \ge 1 \end{cases} \hspace{13cm} \]
Il risultato del sistema si può trovare con la seguente tabella:
Quindi le C.E. complete della nostra disequazione sono:
$1 \le x \le 3$ e $x \ne 2$
Ora che abbiamo determinato le C.E. possiamo passare allo svolgimento della disequazione vero e proprio. Innanzitutto studiamo separatamente il numeratore e il denominatore.
Partiamo ponendo il numeratore maggiore di zero:
$4\arctan x -\pi>0$
Questa disequazione può essere scritta come:
$\arctan x >\dfrac{\pi}{4}$
e andando ad applicare la tangente sia ad entrambi i membri otteniamo:
$\tan (\arctan x) >\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
a sinistra otteniamo l’argomento $x$ in quanto la funzione tangente e arcotangente sono inverse tra loro. Mentre a destra otteniamo $\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$. Quindi dal numeratore otteniamo:
$x>1$
Passiamo al denominatore e lo poniamo sempre maggiore di zero:
$\arcsin(2-x)>0$
anche in questo caso andando a calcolare il seno per entrambi i membri otteniamo:
$\sin (\arcsin(2-x))>\sin 0$
a sinistra otteniamo l’argomento $2-x$, mentre a destra otteniamo $\sin 0 = 0$. Quindi abbiamo che:
$2-x>0$
cioè $x<2$.
Il prossimo passo, essendo una disequazione fratta, è quello di studiare il segno attraverso una tabella:
Essendo che la disequazione di partenza $\dfrac{4\arctan x -\pi}{\arcsin(2-x)}>0$ ha come simbolo $>$ prenderemo come soluzione l’intervallo con segno $+$, cioè:
$1<x<2$
Come al solito questa non è la soluzione finale, infatti bisogna sempre intersecarla con le condizioni di esistenza. Facciamo quindi l’intersezione come in tabella:
In questo caso la soluzione rimane invariata, cioè:
$1<x<2$