Problema
Risolvere la disequazione:
$4\arcsin x-\pi>0$
Svolgimento
La disequazione proposta contiene l’arcoseno che è una funzione goniometrica inversa e che deve essere trattata con attenzione.
Iniziamo lo svolgimento determinando le condizioni di esistenza del membro di sinistra. In questo caso dalla teoria sappiamo che l’argomento della funzione arcoseno deve essere compreso tra $-1$ ed $1$, quindi la condizione di esistenza sarà semplicemente:
$-1 \le x \le 1$
Il prossimo passo è riscrivere la disequazione portando il termine noto a destra e dividendo per $4$, la disequazione diventa quindi:
$\arcsin x>\dfrac{\pi}{4}$
Per proseguire bisogna sapere che le funzioni seno e arcoseno, se sono rispettate le condizioni di esistenza, sono una l’inversa dell’altra. Sapendo ciò possiamo calcolare il seno di entrambi i membri della disequazione nel seguente modo:
$\sin (\arcsin x)>\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)$
Il termine di sinistra, essendo le due funzioni inverse, ci ritorna semplicemente l’argomento $x$. Mentre il membro di destra diventerà $\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt 2}{2}$.
Otteniamo quindi che:
$x>\dfrac{\sqrt 2}{2}$
Questo potrebbe sembrare il risultato finale, tuttavia non finisce qui perché bisogna ricordare le condizioni di esistenza! Infatti il passaggio finale è intersecare la soluzione trovata con le condizioni di esistenza, questo serve a capire quali valori della soluzione trovata sono in comune con i valori ammessi dalle C.E.
Facciamo quindi una tabella per vedere quali sono questi valori comuni:
La soluzione finale è data dall’intervallo di valori ammessi sia per la soluzione che per le C.E., nel nostro caso la soluzione finale è:
$\dfrac{\sqrt 2}{2}<x \le 1$