Problemi
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{(x-2)\left(2-\dfrac{x}{2}\right)}+2=x$
Svolgimento
Riscriviamo l’equazione irrazionale in forma normale come:
$\sqrt{(x-2)\left(2-\dfrac{x}{2}\right)}=x-2$
A questo punto l’equazione è nella forma normale $\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$, dove $A(x)=(x-2)\left(2-\dfrac{x}{2}\right)$ e $B(x)=x-2$.
Essendo pari l’indice della radice $n=2$, per risolvere l’equazione dobbiamo risolvere il sistema:
$\begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)=[B(x)]^n \end{cases}$
che sostituendo i termini del nostro esercizio diventa:
$\begin{cases} (x-2)\left(2-\dfrac{x}{2}\right)\ge 0 \\ x-2\ge 0 \\ (x-2)\left(2-\dfrac{x}{2}\right)=(x-2)^2 \end{cases}$
Per risolverlo partiamo dalle disequazioni, ottenendo le seguenti soluzioni:
$\begin{cases} 2\le x\le4 \\ x\ge 2 \\ (x-2)\left(2-\dfrac{x}{2}\right)=(x-2)^2 \end{cases}$
Ora possiamo dedicarci alla risoluzione dell’equazione:
$(x-2)\left(2-\dfrac{x}{2}\right)=(x-2)^2$
e iniziamo sviluppando entrambi i membri, ottenendo:
$2x-\dfrac{x^2}{2}-4+x=x^2-4x+4$
Sistemando i termini diventa:
$\dfrac{3}{2}x^2-7x+8=0$
che ha come soluzioni $x_1=2$ e $x_2=\dfrac{8}{3}$.
Il sistema diventa quindi:
$\begin{cases} 2\le x\le4 \\ x\ge 2 \\ x_1=2, x_2=\dfrac{8}{3} \end{cases}$
Non resta che confrontare le soluzioni dell’equazione con quelle delle disequazioni, per farlo aiutiamoci con un grafico:
Come possiamo vedere dal grafico sia $x_1=2$ che $x_2=\dfrac{8}{3}$ rispettano le condizioni dalle disequazioni, pertanto concludiamo che le soluzioni dell’equazione irrazionale sono:
$x=2$
$x=\dfrac{8}{3}$