Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt[4]{x+1}=x+1$
Svolgimento
Notiamo come prima cosa che l’equazione irrazionale da risolvere è già nella forma normale $\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$, dove $A(x)=x+1$ e $B(x)=x+1$.
Siccome l’esponente della radice è pari $n=4$ dobbiamo impostare e risolvere il sistema
$\begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)=[B(x)]^n \end{cases}$
Andando a sostituire $A(x)$ e $B(x)$ del nostro esercizio, il sistema che dobbiamo risolvere diventa:
$\begin{cases} x+1\ge 0 \\ x+1\ge 0 \\ x+1=(x+1)^4 \end{cases}$
Come al solito risolviamo prima le due disequazioni, che in questo caso sono identiche:
$\begin{cases} x\ge -1 \\ x\ge -1 \\ x+1=(x+1)^4 \end{cases}$
ora risolviamo a parte l’equazione
$x+1=(x+1)^4$
Nel risolverla la difficoltà principale sta nel calcolare il termine $(x+1)^4$. Per farlo potremmo utilizzare il triangolo di Tartaglia o scomponendolo nel prodotto di due quadrati di binomi, utilizzeremo il secondo metodo:
$(x+1)^4=(x+1)^2(x+1)^2=(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
quindi l’equazione da risolvere diventa:
$x+1=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
e sistemando i termini:
$x^4+4x^3+6x^2+3x=0$
L’equazione è di quarto grado, per risolverla dobbiamo scomporla in un prodotto di termini. Come prima cosa prima raccogliamo una $x$ e poi procediamo con una scomposizione con Ruffini:
$x(x^3+4x^2+6x+3)=0$
Scomponiamo ora il polinomio $x^3+4x^2+6x+3$ con Ruffini, sapendo che si annulla per $x=-1$:
Quindi possiamo scomporre l’equazione come:
$x(x+1)(x^2+3x+3)=0$
Utilizzando la legge di annullamento del prodotto le soluzioni dell’equazione si possono trovare risolvendo le equazioni:
$x=0$
$x+1=0$
$x^2+3x+3=0$
che hanno come soluzioni:
$x_1=0$
$x_2=-1$
$\not\exists x$
Quindi le soluzioni dell’equazione $x^4+4x^3+6x^2+3x=0$ sono $x_1=0$ e $x_2=-1$.
Ritorniamo al nostro sistema che diventa:
$\begin{cases} x\ge -1 \\ x\ge -1 \\ x_1=0, x_2=-1 \end{cases}$
Per concludere dobbiamo verificare che le soluzioni dell’equazione siano accettabili confrontandole con il risultato delle disequazioni.
Nel nostro caso le condizioni delle disequazioni sono identiche e impongono che $x\ge -1$, le soluzioni dell’equazione sono quindi entrambe accettabili perché entrambe maggiori o uguali a $-1$.
Concludiamo che le soluzioni dell’equazione irrazionale sono:
$x=-1$
$x=0$