Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$4+x-\sqrt{x^2-5x+4}=2x$
Svolgimento
L’equazione irrazionale da risolvere va prima scritta in forma normale $\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$, dobbiamo quindi spostare tutti i termini fuori dalla radice a destra e poi cambiamo tutti i segni ottenendo:
$\sqrt{x^2-5x+4}=4-x$
che è nella forma normale, con $A(x)=x^2-5x+4$ e $B(x)=4-x$.
A questo punto siccome la radice ha indice pari $n=2$ dobbiamo procedere impostando il sistema
$\begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)=[B(x)]^n \end{cases}$
Sostituendo i termini $A(x)$ e $B(x)$ del nostra esercizio, il sistema che dobbiamo risolvere sarà:
$\begin{cases} x^2-5x+4\ge 0 \\ 4-x\ge 0 \\ x^2-5x+4=(4-x)^2 \end{cases}$
come prima cosa risolviamo le due disequazioni:
$\begin{cases} x\le 1 \vee x\ge 4 \\ 4\ge x \\ x^2-5x+4=(4-x)^2 \end{cases}$
ora risolviamo l’equazione nella terza riga:
$x^2-5x+4=(4-x)^2 $
che svolgendo il quadrato di binomio e sistemando i termini diventa:
$3x-12=0$
che ha per soluzione $x=4$.
Allora il sistema diventa:
$\begin{cases} x\le 1 \vee x\ge 4 \\ 4\ge x \\ x=4 \end{cases}$
Ora dobbiamo confrontare la soluzione dell’equazione con quelle delle disequazioni per vedere se $x=4$ è accettabile o no. Potremmo farlo ad occhio, ma si può sempre ricorrere al solito grafico utilizzato per i sistemi:

Come si vede dal grafico la soluzione $x=4$ rispetta entrambe le condizioni imposte dalle disequazioni.
Possiamo concludere che la soluzione dell’equazione irrazionale è:
$x=4$