Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{x^2-x}+3x-1=0$
Svolgimento
Come prima cosa dobbiamo riscrivere nella forma $\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$ l’equazione. Per farlo spostiamo a destra dell’uguale i termini fuori dalla radice, otteniamo così l’equazione irrazionale nella forma cercata:
$\sqrt{x^2-x}=1-3x$
dove $A(x)=x^2-x$ mentre $B(x)=1-3x$.
Siccome l’indice della radice è pari $n=2$ dobbiamo procedere impostando e risolvendo il seguente sistema:
$\begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)=[B(x)]^n \end{cases}$
che nel nostro caso, sostituendo i vari termini, diventa:
$\begin{cases}x^2-x\ge 0 \\ 1-3x\ge 0 \\ x^2-x=(1-3x)^2 \end{cases}$
Partiamo risolvendo le due disequazioni, che ci danno come risultato:
$\begin{cases} x\le0 \lor x\ge 1 \\ x\le \dfrac{1}{3} \\ x^2-x=(1-3x)^2 \end{cases}$
Non ci resta che risolvere l’equazione della terza riga:
$x^2-x=(1-3x)^2$
che svolgendo il quadrato di binomio e sistemando i termini diventa:
$8x^2-5x+1=0$
Questa equazione però ha $\Delta<0$ e quindi non ha soluzione, quindi il sistema
$\begin{cases} x\le0 \lor x\ge 1 \\ x\le \dfrac{1}{3} \\ \not\exists x \end{cases}$
non ha soluzione. Concludiamo quindi che nemmeno l’equazione irrazionale ha soluzione.