Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{5x^2+15}=-3$
Svolgimento
L’equazione irrazionale con indice pari proposta si può risolvere senza fare alcun calcolo. Infatti basta notare che ha come secondo membro un numero negativo, per cui potremmo già dire che l’equazione non ha soluzioni.
Ma immaginiamo di non esserci accorti di questo “dettaglio”. Continuando con lo svolgimento classico nel caso di equazioni irrazionali con indice pari ($n=2$) dovremmo risolvere il sistema:
$\begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)=[B(x)]^n \end{cases}$
che nel nostro caso avendo $A(x)=5x^2+15$ e $B(x)=-3$ diventa:
$\begin{cases} 5x^2+15\ge 0 \\ -3\ge 0 \\ 5x^2+15=(-3)^2 \end{cases}$
e risolvendo le prime due righe si ottiene:
$\begin{cases} \forall x \\ \not\exists x \\ 5x^2+15=(-3)^2 \end{cases}$
ma essendo che dalla seconda condizione si ottiene $\not\exists x$ allora il sistema non può avere una soluzione. Pertanto anche l’equazione irrazionale non ha soluzione.