Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt[3]{4x+8}-x=2$
Svolgimento
L’equazione irrazionale da risolvere non si trova nella sua forma normale $\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$, dobbiamo quindi riscriverla come:
$\sqrt[3]{4x+8}=x+2$
ora che è in forma normale con $A(x)=4x+8$ e $B(x)=x+2$ possiamo risolverla.
Notiamo che l’indice della radice è $n=3$, quindi essendo dispari non sarà necessario imporre alcuna condizione. Possiamo tranquillamente elevare entrambi i membri alla terza, ottenendo:
$(\sqrt[3]{4x+8})^3=(x+2)^3$
a primo membro semplifichiamo la radice mentre a secondo membro svolgiamo il cubo di binomio, l’equazione diventa:
$4x+8=x^3+6x^2+12x+8$
sistemando i vari termini otteniamo l’equazione:
$x^3+6x^2+8x=0$
che è un’equazione di terzo grado facilmente risolvibile, basta infatti raccogliere una $x$ ottenendo:
$x(x^2+6x+8)=0$
Per la legge di annullamento del prodotto ci da come prima soluzione $x_1=0$. Le altre due soluzioni possiamo trovarle risolvendo $x^2+6x+8=0$ che sono:
$x_2=-2, x_3=-4$
Quindi le soluzioni dell’equazione irrazionale sono:
$x_1=0$
$x_2=-2$
$x_3=-4$
Come detto all’inizio non ci sono condizioni da imporre perché l’indice della radice è dispari, quindi le soluzioni sono tutte accettabili.