Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{4x-5}=2$
Svolgimento
L’equazione irrazionale da risolvere è già nella forma $\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$, dove $A(x)=4x-5$ e $B(x)=2$.
Essendo che l’indice della radice è pari ($n=2$) per trovare la soluzione dell’equazione bisogna risolvere il sistema:
$\begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)=[B(x)]^n \end{cases}$
Nel nostro caso il sistema diventa quindi il seguente:
$\begin{cases} 4x-5\ge 0 \\ 2\ge 0 \\ 4x-5=2^2 \end{cases}$
Risolviamo ora le prime due righe del sistema che impongono delle condizioni sulle soluzioni dell’equazione:
$\begin{cases} x\ge \dfrac{5}{4} \\ \forall x \\ 4x-5=2^2 \end{cases}$
Non ci resta che risolvere l’ultima riga, cioè l’equazione, e poi confrontare le sue soluzioni con le condizioni per vedere se sono accettabili o no.
Risolviamo quindi a parte l’equazione:
$4x-5=2^2$
che è una semplice equazione di primo grado, la sua soluzione è $x=\dfrac{9}{4}$
Il sistema diventa quindi:
$\begin{cases} x\ge \dfrac{5}{4} \\ \forall x \\ x=\dfrac{9}{4} \end{cases}$
Ora non resta che confrontare la soluzione trovata con le condizioni imposte dalle disequazioni per vedere se è accettabile o no.
Siccome la soluzione $x=\dfrac{9}{4}$ rispetta entrambe le condizioni allora è accettabile. Quindi l’equazione irrazionale ha soluzione:
$x=\dfrac{9}{4}$