Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{3x+13}-\sqrt{3(x+2)}=\sqrt{x+3}-\sqrt{x}$
Svolgimento
Per risolvere l’equazione irrazionale non poniamo condizioni di esistenza ma verificheremo alla fine se le soluzioni sono accettabili.
Iniziamo elevando al quadrato entrambi i membri dell’equazione:
$(\sqrt{3x+13}-\sqrt{3(x+2)})^2=(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})^2$
da cui otteniamo
$3x+13-2\sqrt{3x+13}\sqrt{3(x+2)}+3(x+2)=x+3-2\sqrt{x+3}\sqrt{x}+x$
Ora portiamo i termini con le radici a sinistra e quelli senza a destra:
$-2\sqrt{3x+13}\sqrt{3(x+2)}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x}=x+3+x-3(x+2)-3x-13$
sistemiamo i vari termini simili a destra e le moltiplicazioni tra radici a sinistra:
$-2\sqrt{(3x+13)3(x+2)}+2\sqrt{(x+3)x}=-4x-16$
semplifichiamo dividendo tutti i termini per $2$:
$-\sqrt{(3x+13)3(x+2)}+\sqrt{(x+3)x}=-2x-8$
Per eliminare le radici eleviamo entrambi i membri al quadrato:
$(-\sqrt{(3x+13)3(x+2)}+\sqrt{(x+3)x})^2=(-2x-8)^2$
da cui si ottiene:
$(3x+13)3(x+2)+(x+3)x-2\sqrt{(3x+13)3(x+2)(x+3)x}=4x^2+64+32x$
effettuando le moltiplicazioni e sistemando termini e segni si ottiene l’equazione:
$2\sqrt{(3x+13)3(x+2)(x+3)x}=6x^2+28x+14$
che semplifichiamo dividendo tutti i termini per $2$:
$\sqrt{(3x+13)3(x+2)(x+3)x}=3x^2+14x+7$
Ora dobbiamo eliminare anche l’ultima radice, sempre elevando al quadrato ambo i membri:
$(\sqrt{(3x+13)3(x+2)(x+3)x})^2=(3x^2+14x+7)^2$
che diventa quindi:
$(3x+13)3(x+2)(x+3)x=9x^4+196x^2+49+84x^3+42x^2+196x$
svolgiamo anche le moltiplicazioni a primo membro e sistemando i termini simili si ottiene:
$9x^4+84x^3+249x^2+234x=9x^4+84x^3+238x^2+196x+49$
Semplificando i termini uguali otteniamo l’equazione di secondo grado
$11x^2+38x-49=0$
che ha per soluzioni $x_1=-\dfrac{49}{11}$ e $x_2=1$.
Queste dovrebbero essere soluzioni dell’equazione irrazionale di partenza, ma prima dobbiamo verificare se sono accettabili andando a sostituirle all’interno dell’equazione irrazionale.
Partiamo verificando la soluzione $x=-\dfrac{49}{11}$, inseriamo tale valore nell’equazione di partenza:
$\sqrt{3\cdot \left(-\dfrac{49}{11}\right)+13}-\sqrt{3\left( -\dfrac{49}{11}+2\right)}=\sqrt{-\dfrac{49}{11}+3}-\sqrt{-\dfrac{49}{11}}$
ma notiamo subito che l’ultimo termine è $\sqrt{-\dfrac{49}{11}}$, cioè la radice di un numero negativo, che non può esistere. Quindi concludiamo che $x=-\dfrac{49}{11}$ non è una soluzione accettabile.
Verifichiamo ora $x=1$, che inserito nell’equazione irrazionale di partenza ci da:
$\sqrt{3\cdot 1+13}-\sqrt{3(1+2)}=\sqrt{1+3}-\sqrt{1}$
$4-3=2-1$
$1=1$
quindi siccome otteniamo un’identità possiamo concludere che $x=1$ è una soluzione accettabile dell’equazione irrazionale.
Quindi concludiamo che l’equazione irrazionale di partenza ha come soluzione:
$x=1$