Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{5-x}+\sqrt{5+x}=\dfrac{12}{\sqrt{5+x}}$
Svolgimento
Risolviamo l’equazione senza porre condizioni, andremo poi a verificare “manualmente” se le soluzioni sono accettabili sostituendole nell’equazione di partenza.
Per risolvere l’equazione portiamo tutti i termini a sinistra e mettendoli poi a denominatore comune, ottenendo:
$\dfrac{\sqrt{5-x}\sqrt{5+x}+\sqrt{5+x}\sqrt{5+x}-12}{\sqrt{5+x}}=0$
e sistemiamo le moltiplicazioni tra radici:
$\dfrac{\sqrt{(5-x)(5+x)}+(5+x)-12}{\sqrt{5+x}}=0$
Ora possiamo moltiplicare a sinistra e a destra per $\sqrt{5+x}$ in modo da eliminare il denominatore, otteniamo:
$\sqrt{(5-x)(5+x)}+(5+x)-12=0$
da cui, andando a moltiplicare le parentesi dentro la radice e portando a destra esterni alla radice si ottiene l’equazione:
$\sqrt{25-x^2}=7-x$
procediamo andando elevando al quadrato entrambi i membri in modo da eliminare la radice:
$(\sqrt{25-x^2})^2=(7-x)^2$
da cui:
$25-x^2=49-14x+x^2$
che, sistemando i vari termini simili, possiamo scrivere come:
$2x^2-14x+24=0$
Questa è un’equazione di secondo grado che possiamo semplificare dividendo tutti i termini per $2$, ottenendo l’equazione:
$x^2-7x+12=0$
che ha per soluzioni $x_1=3$ e $x_2=4$.
Queste dovrebbero essere anche le soluzioni dell’equazione irrazionale di partenza, ma dobbiamo verificare che siano accettabili. Per verificare ciò andiamo a sostituire una alla volta le soluzioni nell’equazione irrazionale di partenza e vediamo se otteniamo un’identità.
Iniziamo verificando $x=3$, sostituendola nell’equazione di partenza si ottiene:
$\sqrt{5-3}+\sqrt{5+3}=\dfrac{12}{\sqrt{5+3}}$
$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\dfrac{12}{\sqrt{8}}$
$\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\dfrac{12}{2\sqrt{2}}$
$3\sqrt{2}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}$
razionalizzando il membro di destra si ottiene:
$3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
quindi avendo ottenuto un’identità $x=3$ è una soluzione accettabile dell’equazione irrazionale.
Facciamo la stessa cosa per $x=4$, ottenendo:
$\sqrt{5-4}+\sqrt{5+4}=\dfrac{12}{\sqrt{5+4}}$
$\sqrt{1}+\sqrt{9}=\dfrac{12}{\sqrt{9}}$
$1+3=\dfrac{12}{3}$
$4=4$
Anche in questo caso avendo ottenuto l’identità $4=4$ possiamo concludere che $x=4$ è una soluzione accettabile dell’equazione irrazionale di partenza.
Quindi, per riassumere, le soluzioni dell’equazione irrazionale sono:
$x=3$
$x=4$