Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{|2x-6|}=|x|-x$
Svolgimento
NOTA: Facendo opportune osservazione sulle condizioni è possibile ridurre notevolmente la lunghezza dello svolgimento, ma a scopo didattico si è scelto di seguire la via più “tortuosa”.
L’equazione irrazionale da risolvere contiene dei valori assoluti. Per risolverla possiamo prima considerare i valori assoluti e poi pensare alla radice quadrata. Siccome i valori assoluti sono due, procediamo andando a studiare il segno dei loro argomenti, cioè:
$2x-6\ge 0$
$x\ge 0$
da cui otteniamo:
$x\ge 3$
$x\ge 0$
Combiniamo ora i due risultati in una tabella dei segni, ottenendo:
Quindi abbiamo tre casi differenti:
- se $x<0$ allora $|2x-6|=-2x+6$ e $|x|=-x$
- se $0\le x \le3$ allora $|2x-6|=-2x+6$ e $|x|=x$
- se $x>3$ allora $|2x-6|=2x-6$ e $|x|=x$
Quindi per risolvere la nostra equazione irrazionale dobbiamo risolvere tre sistemi, uno per ciascun caso, alla fine uniremo le soluzioni trovate per ciascun sistema.
I tre sistemi sono i seguenti:
$\begin{cases} x<0 \\ \sqrt{-2x+6}=-x-x \end{cases} \hspace{0.5cm} \cup \hspace{0.5cm} \begin{cases} 0\le x\le3 \\ \sqrt{-2x+6}=x-x \end{cases} \hspace{0.5cm} \cup \hspace{0.5cm} \begin{cases} x>3 \\ \sqrt{2x-6}=x-x \end{cases}$
Non resta che risolverli uno ad uno, infatti l’equazione irrazionale presente in ciascun sistema non ha più i valori assoluti e quindi possiamo usare il solito metodo.
Partiamo dal primo:
$\begin{cases} x<0 \\ \sqrt{-2x+6}=-2x \end{cases}$
siccome l’equazione ha una radice pari $n=2$ dobbiamo imporre le condizioni di esistenza della radice e della concordanza del segno e possiamo aggiungerle direttamente al sistema:
$\begin{cases} x<0 \\ -2x+6\ge 0 \\ -2x\ge 0 \\ \sqrt{-2x+6}=-2x \end{cases} \hspace{0.5cm} \longrightarrow \hspace{0.5cm} \begin{cases} x<0 \\ x\le 3 \\ x\le 0 \\ -2x+6=(-2x)^2 \end{cases} $
risolviamo a parte l’equazione $-2x+6=(-2x)^2$ che diventa:
$4x^2+2x-6=0$
le cui soluzioni sono $x_1=-\dfrac{3}{2}$ e $x_2=1$.
Quindi il sistema diventa:
$\begin{cases} x<0 \\ x\le 3 \\ x\le 0 \\ x_1=-\dfrac{3}{2}, x_2=1 \end{cases}$
osserviamo subito che solo $x=-\dfrac{3}{2}$ soddisfa tutte le condizioni ed è quindi l’unica soluzione del sistema.
Passiamo al secondo sistema:
$\begin{cases} 0\le x\le3 \\ \sqrt{-2x+6}=0 \end{cases}$
in questo caso basta imporre la condizione di esistenza sulla radice, ottenendo:
$\begin{cases} 0\le x\le3 \\ -2x+6\ge 0 \\ \sqrt{-2x+6}=0 \end{cases}\hspace{0.5cm} \longrightarrow \hspace{0.5cm} \begin{cases} 0\le x\le 3 \\ x\le 3 \\ -2x+6=0\end{cases}$
risolviamo l’equazione di primo grado $-2x+6=0$ che ha soluzione $x=3$. Il sistema diventa quindi:
$\begin{cases} 0\le x\le 3 \\ x\le 3 \\ x=3\end{cases}$
e siccome $x=3$ rispetta entrambe le condizioni possiamo concludere che il sistema ha come soluzione $x=3$.
Passiamo infine al terzo sistema:
$\begin{cases} x>3 \\ \sqrt{2x-6}=0 \end{cases}$
anche in questo caso per risolvere l’equazione irrazionale basta imporre la condizione di esistenza della radice, il sistema diventa:
$\begin{cases} x>3 \\2x-6\ge 0 \\ \sqrt{2x-6}=0 \end{cases} \hspace{0.5cm} \longrightarrow \hspace{0.5cm} \begin{cases} x>3 \\ x \ge 3 \\ 2x-6=0 \end{cases}$
risolviamo l’equazione $2x-6$, che ha some soluzione $x=3$. Il sistema diventa quindi:
$\begin{cases} x>3 \\ x \ge 3 \\ x=3 \end{cases}$
Confrontando $x=3$ con le condizioni notiamo che non rispetta la prima, per cui non è accettabile come soluzione. Quindi il sistema non ha soluzione.
Ora prendiamo le soluzioni di ciascun sistema e le uniamo. Nel nostro caso basta unire la soluzione del primo sistema con quella del secondo sistema.
Quindi possiamo concludere che l’equazione irrazionale di partenza ha soluzione:
$x=-\dfrac{3}{2}$
$x=3$