Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{6x^2-2x}=|x-3|$
Svolgimento
L’equazione irrazionale da risolvere contiene un valore assoluto, potremmo osservare subito che il secondo membro è sempre positivo essendo un valore assoluto e quindi elevare subito al quadrato senza imporre condizioni. Ma a scopo didattico seguiremo il procedimento “standard” più lungo.
Consideriamo come prima cosa il valore assoluto e studiando il segno dell’argomento distinguiamo due casi:
- se $x\ge 3$ allora $|x-3|=x-3$
- se $x<3$ allora $|x-3|=-x+3$
A questi due casi corrispondono due sistemi:
$\begin{cases} x\ge 3 \\ \sqrt{6x^2-2x}=x-3 \end{cases} \hspace{0.5cm}\cup \hspace{0.5cm} \begin{cases} x<3 \\ \sqrt{6x^2-2x}=-x+3 \end{cases}$
Per risolvere l’equazione irrazionale di partenza dobbiamo quindi risolvere uno ad uno questi due sistemi e infine unire le loro soluzioni.
Partiamo dal primo sistema:
$\begin{cases} x\ge 3 \\ \sqrt{6x^2-2x}=x-3 \end{cases}$
siccome abbiamo una radice quadrata dobbiamo imporre le condizioni di esistenza e di concordanza del segno. Possiamo tranquillamente aggiungerle al sistema, ottenendo:
$\begin{cases} x\ge 3 \\ 6x^2-2x \ge 0 \\ x-3\ge 0 \\ \sqrt{6x^2-2x}=x-3 \end{cases}\hspace{0.5cm} \longrightarrow \hspace{0.5cm} \begin{cases} x\ge 3 \\ x\le 0 \vee x\ge \dfrac{1}{3} \\ x\ge 3 \\ 6x^2-2x=(x-3)^2 \end{cases}$
risolviamo a parte l’equazione $6x^2-2x=(x-3)^2$, che diventa:
$5x^2+4x-9=0$
che ha per soluzioni $x_1=-\dfrac{9}{5}$ e $x_2=1$.
Il sistema diventa quindi:
$\begin{cases} x\ge 3 \\ x\le 0 \vee x\ge \dfrac{1}{3} \\ x\ge 3 \\ x_1=-\dfrac{9}{5}, x_2=1 \end{cases}$
si può notare che nessuna delle due soluzioni rispetta le condizioni, quindi il sistema non ha soluzione.
Passiamo al secondo sistema:
$\begin{cases} x<3 \\ \sqrt{6x^2-2x}=-x+3 \end{cases}$
imponiamo sempre le condizioni di esistenza della radice e la concordanza del segno, ottenendo:
$\begin{cases} x<3 \\ 6x^2-2x\ge 0 \\ -x+3\ge 0\\ \sqrt{6x^2-2x}=-x+3 \end{cases} \hspace{0.5cm} \longrightarrow \hspace{0.5cm} \begin{cases} x<3 \\ x\le 0 \vee x\ge \dfrac{1}{3} \\ x\le 3\\ 6x^2-2x=(-x+3)^2 \end{cases}$
risolviamo l’equazione $6x^2-2x=(-x+3)^2$, cioè sempre:
$5x^2+4x-9=0$
che ha per soluzioni $x_1=-\dfrac{9}{5}$ e $x_2=1$.
Il sistema diventa quindi:
$\begin{cases} x<3 \\ x\le 0 \vee x\ge \dfrac{1}{3} \\ x\le 3\\ x_1=-\dfrac{9}{5}, x_2=1 \end{cases}$
Confrontando le due soluzioni con le condizioni possiamo verificare che sia $x=-\dfrac{9}{5}$ che $x=1$ sono soluzioni accettabili perché soddisfano tutte le condizioni.
Ora dovremmo unire le soluzioni del primo sistema con quelle del secondo, ma siccome il primo sistema non ha soluzione restano solamente quelle del secondo.
Concludiamo quindi che le soluzioni dell’equazione irrazionale sono:
$x=-\dfrac{9}{5}$
$x=1$