Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{2x-1}=2\sqrt{x+4}-3$
Svolgimento
Per non complicare troppo lo svolgimento non andremo a porre condizioni e verificheremo alla fine le soluzioni per sostituzione.
Iniziamo elevando al quadrato entrambi i membri dell’equazione per eliminare una radice:
$(\sqrt{2x-1})^2=(2\sqrt{x+4}-3)^2$
a secondo membro c’è un quadrato di binomio, svolgendo i calcoli otteniamo:
$2x-1=4(x+4)-12\sqrt{x+4}+9$
rimane ancora una radice a causa del doppio prodotto, sistemiamo i vari termini in modo da avere la radice a sinistra e tutto il resto a destra:
$12\sqrt{x+4}=2x+26$
eleviamo nuovamente al quadrato per eliminare la radice:
$(12\sqrt{x+4})^2=(2x+26)^2$
da cui otteniamo:
$144(x+4)=4x^2+104x+676$
facendo qualche calcolo otteniamo la seguente equazione di secondo grado:
$4x^2-40x+100=0$
che avendo $\Delta=0$ ha come unica soluzione $x=5$.
verifica delle soluzioni
Verifichiamo che $x=5$ sia una soluzione dell’equazioni irrazionale di partenza inserendo tale valore nell’equazione:
$\sqrt{2\cdot 5-1}=2\sqrt{5+4}-3$
cioè otteniamo:
$\sqrt{9}=2\sqrt{9}-3$
cioè, facendo qualche conto:
$3=3$
Siccome il risultato è un’identità, allora $x=5$ è una soluzione accettabile.
Quindi concludiamo che la soluzione dell’equazione irrazionale è:
$x=5$