Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{5+4x-x^2}-2\sqrt{5-x}=0$
Svolgimento
L’equazione irrazionale da risolvere contiene due radici, il modo più conveniente in questi casi è risolverla senza porre condizioni, una volta trovate le soluzioni andremo a verificare quali risolvono veramente l’equazione sostituendole.
Quindi come prima cosa scriviamo l’equazione come:
$\sqrt{5+4x-x^2}=2\sqrt{5-x}$
ed eleviamo ambo i membri al quadrato per eleminare le radici:
$(\sqrt{5+4x-x^2})^2=(2\sqrt{5-x})^2$
ottenendo:
$5+4x-x^2=4(5-x)$
Questa è un’equazione di secondo grado che, sistemando i vari termini, possiamo scrivere come:
$x^2-8x+15=0$
che ha come soluzioni $x_1=5$ e $x_2=3$.
verifica delle soluzioni
Per verificare se sono veramente delle soluzioni dell’equazione irrazionale di partenza, andiamo a sostituire ciascuna soluzione nell’equazione irrazionale.
Partiamo da $x=5$, sostituendo nell’equazione si ottiene:
$\sqrt{5+4\cdot 5-5^2}-2\sqrt{5-5}=0$
svolgendo i calcoli si arriva a $0=0$, quindi il valore $x=5$ è una soluzione accettabile dell’equazione irrazionale.
Proviamo ora $x=3$. sostituendolo nell’equazione irrazionale otteniamo:
$\sqrt{5+4\cdot 3-3^2}-2\sqrt{5-3}=0$
da cui:
$\sqrt{8}-2\sqrt{2}=0$
$2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0$
$0=0$
Pertanto anche $x=3$ è una soluzione accettabile.
Concludiamo che le soluzioni dell’equazione irrazionale sono:
$x=5$
$x=3$