Problema
Risolvere l’equazione irrazionale:
$\sqrt{x+3}=2x+3$
Svolgimento
L’equazione irrazionale da risolvere è già nella forma $\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$, dove $A(x)=x+3$ e $B(x)=2x+3$.
Nel nostro caso l’indice della radice è $n=2$, cioè una radice quadrata. Essendo l’indice pari dobbiamo quindi impostare e risolvere il sistema:
$\begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)=[B(x)]^n \end{cases}$
sostituendo i vari termini generici con quelli della nostra equazione irrazionale, il sistema da risolvere diventa:
$\begin{cases} x+3\ge 0 \\ 2x+3\ge 0 \\ x+3=(2x+3)^2 \end{cases}$
Risolviamo le due condizioni date dalle disequazioni di primo grado ottenendo:
$\begin{cases} x\ge -3 \\ x\ge -\dfrac{3}{2} \\ x+3=(2x+3)^2 \end{cases}$
Ora possiamo risolvere l’equazione e, se la sua soluzione rispetterà le condizioni imposte dalle disequazioni, allora sarà accettabile. Iniziamo risolvendo a parte l’equazione:
$x+3=(2x+3)^2$
siccome è un’equazione di secondo grado, svolgiamo il quadrato di binomio e scriviamola nella forma $ax^2+bx+c=0$
$x+3=4x^2+12x+9$
$4x^2+11x+6=0$
che ha come soluzioni:
$x_1=-\dfrac{3}{4}, x_2=-2$
Quindi il sistema diventa:
$\begin{cases} x\ge -3 \\ x\ge -\dfrac{3}{2} \\ x_1=-\dfrac{3}{4}, x_2=-2 \end{cases}$
Non ci resta che risolvere il sistema, cioè confrontare le due soluzioni dell’equazione con le condizioni poste dalle disequazioni. Se non riusciamo a farlo “a mente”, possiamo aiutarci con un grafico.
Dal grafico vediamo che la soluzione $x_1=-2$ non è accettabile perché non rispetta entrambe le condizioni imposte dalle disequazioni (rispetta la prima ma non la seconda), mentre la soluzione $x_2=-\dfrac{3}{4}$ le rispetta entrambe quindi è accettabile.
Possiamo quindi concludere che la soluzione dell’equazione irrazionale è:
$x=-\dfrac{3}{4}$