Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$\dfrac{9x^2-(3x-2)^2}{3m-12}>0$
Svolgimento
Essendo presente il parametro $m$ a denominatore, partiamo trovando le condizioni di esistenza
C.E. : $3m-12\ne 0$
cioè
C.E.: $m\ne 4$
Ora possiamo procedere andando a svolgere il quadrato di binomio a numeratore, ottenendo
$\dfrac{9x^2-(9x^2-12x+4)}{3m-12}>0$
che semplificando un paio di termini diventa
$\dfrac{12x-4}{3m-12}>0$
Il prossimo passo è dividere in due frazioni in numeratore nel seguente modo
$\dfrac{12x}{3m-12}-\dfrac{4}{3m-12}>0$
infine portando a destra il secondo termine senza incognita otteniamo
$\dfrac{12x}{3m-12}>\dfrac{4}{3m-12}$
che è nella forma $A\cdot x> B$ con $A=\dfrac{12}{3m-12}$ e $B=\dfrac{4}{3m-12}$.
Ora dovremmo moltiplicare entrambi i membri della disequazione per $\dfrac{3m-12}{12}$ ma possiamo farlo solo dopo aver discusso il valore del parametro. Abbiamo i soliti tre casi:
- se $\dfrac{12}{3m-12}>0$ (cioè $m>4$) possiamo moltiplicare ambo i membri per $\dfrac{3m-12}{12}$ ottenendo
$\dfrac{3m-12}{12}\cdot \dfrac{12x}{3m-12}>\dfrac{4}{3m-12}\cdot \dfrac{3m-12}{12}$
$x>\dfrac{1}{3}$
- se $\dfrac{12}{3m-12}<0$ (cioè $m<4$) possiamo moltiplicare entrambi i membri per $\dfrac{3m-12}{12}$ ma, essendo questa volta una quantità negativa, dobbiamo cambiare il verso della disequazione
$\dfrac{3m-12}{12}\cdot \dfrac{12x}{3m12}<\dfrac{4}{3m-12}\cdot \dfrac{3m-12}{12}$
$x<\dfrac{1}{3}$
- infine verifichiamo il caso $m=4$. Tale valore è però escluso dalle condizioni di esistenza sul parametro, la disequazione perderebbe di significato.
Ricapitoliamo le soluzione trovate:
- se $m>4$ allora $x>\dfrac{1}{3}$
- se $m<4$ allora $x<\dfrac{1}{3}$
- se $m=4$ allora perde significato