Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$\dfrac{(x-2)^2-(x+2)^2}{2a-4}\ge 0$
Svolgimento
La prima cosa da fare è porre le condizioni di esistenza sul parametro $a$ che si trova a denominatore.
C.E.: $2a-4\ne 0$
cioè
C.E.: $a\ne 2$
Ora ritorniamo alla disequazione e procediamo svolgendo i quadrati di binomio a numeratore, si ottiene
$\dfrac{x^2-4x+4-(x^2+4x+4)}{2a-4}\ge 0$
sistemando i segni e semplificando qualche termine la disequazione diventa
$\dfrac{-8x}{2a-4}\ge 0$
possiamo ulteriormente semplificarla cambiando segno (e verso) alla disequazione e raccogliendo un $2$ a denominatore, la versione definitiva sarà
$\dfrac{4x}{a-2}\le 0$
che è nella forma $A\cdot x \le B$ con $A=\dfrac{4}{a-2}$ e $B=0$.
Per risolverla dovremmo moltiplicare entrambi i membri per $\dfrac{a-2}{4}$ ma per farlo bisogna prima discutere il parametro.
Distinguiamo tre casi:
- se $\dfrac{4}{a-2}>0$ (cioè $a>2$) allora possiamo moltiplicare tranquillamente entrambi i membri per $\dfrac{a-2}{4}$, ottenendo
$\dfrac{a-2}{4}\cdot \dfrac{4x}{a-2}\le 0 \cdot \dfrac{a-2}{4}$
$x\le 0$
- se $\dfrac{a-2}{4}<0$ (cioè $a<2$) allora possiamo nuovamente moltiplicare entrambi i membri per $\dfrac{a-2}{4}$ ma essendo una quantità negativa dobbiamo cambiare verso alla disequazione
$\dfrac{a-2}{4}\cdot \dfrac{4x}{a-2}\ge 0 \cdot \dfrac{a-2}{4}$
$x\ge 0$
- Il caso $\dfrac{4}{a-2}=0$ non ha senso farlo perché la frazione non può mai essere $0$.Valutiamo però se $a=2$, ma notiamo che tale valore viene escluso dalle condizioni di esistenza sul parametro, quindi se $a=2$ la disequazione perderebbe significato.
Riassumiamo le soluzioni:
- se $a>2$ allora $x\le 0$
- se $a<2$ allora $x\ge 0$
- se $a=2$ allora perde significato