Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$\dfrac{2-5x}{a-3}<0$
Svolgimento
Questa tipologia di disequazione letterale è intera perché l’incognita $x$ si trova solo a numeratore, tuttavia abbiamo che il parametro $a$ si trova nel denominatore, pertanto sono comunque necessarie le condizioni di esistenza per evitare che il denominatore si annulli.
C.E.: $a-3\ne 0$
cioè
C.E.: $ a\ne 3$
Ora possiamo procedere, la strada migliore è dividere il primo membro della disequazione in due frazioni nel seguente modo
$\dfrac{2}{a-3}-\dfrac{5x}{a-3}<0$
a questo punto spostando il primo termina a destra e cambiando segni e verso alla disequazione otteniamo
$\dfrac{5x}{a-3}>\dfrac{2}{a-3}$
che è nella forma $A\cdot x > B$ dove $A=\dfrac{5}{a-3}$ e $B=\dfrac{2}{a-3}$.
Per risolverla dobbiamo moltiplicare entrambi i membri per $\dfrac{a-3}{5}$, ma non possiamo farlo senza prima aver discusso il parametro! Abbiamo i soliti casi:
- se $\dfrac{5}{a-3}>0$ (cioè se $a>3$) allora possiamo moltiplicare entrambi i membri per $\dfrac{a-3}{5}$ che sarà sicuramente una quantità positiva, otteniamo quindi
$\dfrac{a-3}{5}\cdot \dfrac{5x}{a-3}>\dfrac{2}{a-3}\cdot \dfrac{a-3}{5}$
$x>\dfrac{2}{5}$
- se $\dfrac{5}{a-3}<0$ (cioè se $a<3$) possiamo comunque moltiplicare per $\dfrac{a-3}{5}$ entrambi i membri ma cambiando il verso alla disequazione, che diventerà
$\dfrac{a-3}{5}\cdot \dfrac{5x}{a-3}<\dfrac{2}{a-3}\cdot \dfrac{a-3}{5}$
$x<\dfrac{2}{5}$
- solitamente consideravamo il caso se $\dfrac{5}{a-3}=0$, ma in questo esercizio non ha senso perché non quella frazione non può mai essere $0$. Si considera invece il caso $a=3$ e notiamo che non ha significato perché tale valore è escluso dalle condizioni di esistenza sul parametro.
Riscriviamo bene le soluzioni trovate:
- se $a>3$ allora $x>\dfrac{2}{5}$
- se $a<3$ allora $x<\dfrac{2}{5}$
- se $a=3$ allora perde significato