Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$(x+b)(b+2)+(x-1)(b+3)\le (b+1)^2$
Svolgimento
Come al solito vogliamo scrivere le disequazione nella forma $A\cdot x \le B$, cioè tutti i termini con l’incognita $x$ dovranno essere a sinistra mentre tutti gli altri termini a destra.
Come prima cosa eliminiamo le parentesi tonde effettuando le moltiplicazione e otteniamo
$bx+2x+b^2+2b+bx+3x-b-3\le b^2+2b+1$
spostiamo i termini con la $x$ a sinistra e quelli senza a destra, ricordando di cambiare il loro segno
$bx+2x+bx+3x\le b^2+2b+1-b^2-2b+b+3$
semplificando e sommando alcuni termini si ottiene il seguente risultato
$2bx+5x \le b+4$
per concludere raccogliamo la $x$ al primo membro
$(2b+5)x \le b+4$
che è nella forma $A\cdot x\le b+4$ dove $A=(2b+5)$ e $B=b+4$.
Possiamo finalmente risolverla dividendo ambo i membri per $(2b+5)$, dobbiamo però discutere il parametro. Abbiamo i soliti tre casi:
- se $2b+5>0$ $\big($cioè $b>-\dfrac{5}{2}\big)$ allora il termine $2b+5$ è positivo e possiamo dividere entrambi i membri ottenendo
$\dfrac{1}{2b+5}\cdot (2b+5)x\le (b+4)\cdot \dfrac{1}{2b+5}$
$x\le \dfrac{b+4}{2b+5}$
- se $2b+5<0$ $\big($cioè $b<-\dfrac{5}{2}\big)$ possiamo comunque dividere entrambi i membri per $2b+5$ ma cambiando verso alla disequazione perché stiamo dividendo per una quantità negativa. Otteniamo quindi
$\dfrac{1}{2b+5}\cdot (2b+5)x\ge (b+4)\cdot \dfrac{1}{2b+5}$
$x\ge \dfrac{b+4}{2b+5}$
- se $2b+5=0$ $\big($ cioè $b=-\dfrac{5}{2}\big)$ allora inserendo $-\dfrac{5}{2}$ al posto del parametro $b$ si ottiene
$\left[2\cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)+5\right]x \le -\dfrac{2}{5}+4$
$0\cdot x \le \dfrac{18}{5}$
che è indeterminata, perché qualsiasi valore di $x$ moltiplicato per $0$ da un numero minore di $\dfrac{18}{5}$.
Ricapitoliamo le soluzione che sono:
- se $b>-\dfrac{5}{2}$ allora $x\le \dfrac{b+4}{2b+5}$
- se $b<-\dfrac{5}{2}$ allora $x\ge \dfrac{b+4}{2b+5}$
- se $b=-\dfrac{5}{2}$ allora è indeterminata