Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$a(x-a)(x+a)<a(x+a)^2$
Svolgimento
Dobbiamo ricondurci ad una disequazione del tipo $A\cdot x < B$, per farlo dobbiamo primo eliminare le parentesi. Qui ci tornano molto utili i prodotti notevoli, infatti a sinistra abbiamo una differenza di quadrati $(x-a)(x+a)$ mentre a destra un quadrato di binomio $(x+a)^2$. Utilizzando questi prodotti notevoli si ottiene:
$a(x^2-a^2)<a(x^2+2ax+a^2)$
effettuiamo la moltiplicazione per $a$ ad ambo i membri
$ax^2-a^3<ax^2+2a^2x+a^3$
portiamo ora i termini con l’incognita $x$ a sinistra e tutto il resto a destra, poi semplifichiamo i termini $ax^2$ ottenendo
$-2a^2x<+2a^3$
che è nella forma $A\cdot x < B$ ma per comodità eliminiamo il segno meno dal primo membro, cambiamo i segni di entrambi i termini e invertiamo il segno della disequazione
$2a^2x>-2a^3$
questa è la nostra disequazione nella forma $A\cdot x > B$ con $A=2a^2$ e $B=-2a^3$.
Per risolvere la disequazione dobbiamo dividere entrambi i membri per $2a^2$, ma prima dobbiamo fare la discussione. Abbiamo sempre 3 casi:
- se $2a^2>0$ (cioè $\forall a\ne 0$) allora il termine $2a^2$ è positivo e possiamo dividere entrambi i membri ottenendo
$\dfrac{1}{2a^2}\cdot 2a^2x>-2a^3\cdot \dfrac{1}{2a^2}$
$x>-a$
- se $2a^2<0$, questo caso non serve valutarlo perché non esiste valore di $a$ che renda $2a^2$ minore di $0$. Il caso $2a^2>0$ comprende sia $a>0$ che $a<0$, tranne $a=0$.
- infine se $2a^2=0$ (cioè $a=0$), allora sostituendo nella disequazione $0$ al posto del parametro $a$ si ottiene
$2\cdot 0^2\cdot x>-2\cdot 0^3$
$0\cdot x>0$
che è impossibile, non può esistere un valore di $x$ che moltiplicato per $0$ dia un numero maggiore di $0$.
Ricapitoliamo le soluzioni della disequazione:
- se $a\ne 0$ allora $x>-a$
- se $a=0$ allora è impossibile