Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$3a(x-7a)+6a^2>0$
Svolgimento
Come sempre vogliamo scrivere la disequazione sistemando i termini in modo che sia nella forma $A\cdot x>0$. Per farlo dobbiamo prima risolvere la parentesi tonda, moltiplicando i termini si ottiene:
$3ax-21a^2+6a^2>0$
Ora è necessario spostare i termini senza l’incognita $x$ a destra cambiandoli di segno, ottenendo:
$3ax>21a^2-6a^2$
infine si sommano i due termini a destra:
$3ax>15a^2$
la disequazione è ora nella forma $A\cdot x>B$ con $A=3a$ e $B=15a$. Partendo da quest’ultima disequazione possiamo trovare la soluzione dividendo entrambi i membri per $3a$, ma come al solito non si può fare brutalmente, bisogna discutere il parametro. Avremo tre casi:
- se $a>0$ siamo sicuri che $3a$ è una quantità positiva e possiamo quindi dividere entrambi i membri per $3a$, otteniamo che:
$\dfrac{1}{3a}\cdot 3ax>15a^2 \cdot \dfrac{1}{3a}$
$x>5a$
- se $a<0$ possiamo comunque dividere ambo i membri per $3a$ ma dobbiamo cambiare il verso della disequazione
$\dfrac{1}{3a}\cdot 3ax<15a^2 \cdot \dfrac{1}{3a}$
$x<5a$
- se $a=0$ e andiamo a sostituire questo valore al posto del parametro $a$ otteniamo:
$3\cdot 0 \cdot x >15\cdot 0^2$
$0\cdot x>0$
che è impossibile, non c’è valore di $x$ che inserito mi possa dare un numero maggiore di $0$.
Quindi riassumiamo le soluzioni della disequazione letterale:
- se $a>0$ allora $x>5a$
- se $a<0$ allora $x<5a$
- se $a=0$ allora è impossibile