Problema
Risolvere la disequazione letterale intera di primo grado:
$ax+2\le 0$
Svolgimento
La disequazione letterale da risolvere ha come incognita $x$ e come parametro $a$. Per risolverla bisogna scriverla nella forma $A\cdot x\le B$, cioè i termini con l’incognita $x$ devono stare a sinistra mentre tutti gli altri a destra.
Nel nostro caso basta quindi portare a destra il $2$ cambiando il segno, la disequazione diventa:
$ax\le -2$
che è nella forma $A\cdot x\le B$ dove $A=a$ e $B=-2$.
Chiaramente per risolvere la disequazione bisogna dividere entrambi i membri per $a$, ma non possiamo fare questo passaggio a cuor leggero. Infatti non conoscendo il valore del parametro $a$ non sappiamo se stiamo dividendo per un numero positivo o negativo, o ancor peggio per $0$. Per questo è necessario effettuare una discussione del valore di $a$.
Per la discussione si parte sempre dalla disequazione scritta come:
$ax\le -2$
e andremo a discutere tre casi:
- Se $a>0$ allora possiamo tranquillamente dividere entrambi i membri della disequazione per $a$, otterremo quindi che il risultato della disequazione è:
$\dfrac{1}{a}\cdot ax\le -2\cdot \dfrac{1}{a}$
$x\le -\dfrac{2}{a}$
- Se $a<0$ allora possiamo ancora dividere entrambi i membri per $a$ ma, siccome stiamo dividendo per $a$ che è un numero negativo, occorre cambiare il verso alla disequazione.
$\dfrac{1}{a}\cdot ax\ge -2\cdot \dfrac{1}{a}$
$x\ge -\dfrac{2}{a}$
- Infine se $a=0$, sostituendo $0$ al posto del parametro $a$ la disequazione diventa:
$0\cdot x \le -2$
che è impossibile. Questo perché qualsiasi valore di $x$ moltiplicato per $0$ non darà mai un numero minore di $-2$.
Per riassumere, le soluzioni della disequazione letterale sono:
- se $a>0$ allora $x\le -\dfrac{2}{a}$
- se $a<0$ allora $x\ge -\dfrac{2}{a}$
- se $a=0$ allora è impossibile